偏差値の意味・目安・5つの性質

• 偏差値30：「上から98%」

• 偏差値35：「上から93%」

• 偏差値40：「上から84%」

• 偏差値45：「上から69%」「3人に2人は偏差値45以上」

• 偏差値50：「上から50%」「2人に1人の平均的な人」

• 偏差値55：「上から31%」「3人に1人の賢い人」

• 偏差値60：「上から16%」「6人に1人の賢い人」

• 偏差値65：「上から7%」「15人に1人の逸材」

• 偏差値70：「上から2%」「45人に1人の天才」

※試験の得点分布が正規分布に従うと仮定した場合です。実際は正規分布と異なるのであくまで目安です。

実際， $$50+10×\dfrac{その人の点数ー平均}{標準偏差}$$ を見ると「その人の点数」が高いほど偏差値が高いことがわかります。当然ですが，「80点の人が90点の人より偏差値が低い」なんてことはありません。

実際， $$50+10×\dfrac{その人の点数ー平均}{標準偏差}$$ を見ると「その人の点数」と「平均」が同じとき，第2項が消えて偏差値は $50$ になります。

実際， $$50+10×\dfrac{その人の点数ー平均}{標準偏差}$$ はマイナスになることも $100$ を超えることもあります。例えば，$100$ 人のテストで自分以外が全員 $0$ 点で自分が $100$ 点なら，平均点は $1$ で標準偏差は $9.9$ となり自分の偏差値は $150$ になります！

例えば標準偏差が $15$ の場合，偏差値が $50$ の人と $60$ の人では点数に $15$ 点差があります。

平均点と標準偏差がわかっている場合は偏差値の計算は簡単です。

平均点と標準偏差がわからない場合は，先に平均点と標準偏差を計算する必要があります。

1. 平均 $\mu$ は「全員の合計点数」÷「人数」で計算されます：
   $\mu=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^Nx_i$
   ※ただし，人数を $N$ とし，それぞれの点数を $x_1, x_2, \cdots, x_N$ とおきました。平均的な人が取る点数が $\mu$ 点ということです。

2. 標準偏差 $\sigma$ は分布の散らばり方を表す指標です。具体的には（点数ー平均点）の二乗の和÷全体人数の平方根で定義されます：
   $\sigma=\dfrac{1}{\sqrt{N}}\displaystyle\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2$
   $\sigma$ が大きいほど分布が偏っている，つまり高得点や低得点の人がたくさんいることになります。

3. 平均を $\mu$，標準偏差を $\sigma$，その人の得点を $x_i$ とすると，その人の偏差値 $T_i$ は，
   $T=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\times 10+50$
   となります。

偏差値計算の手順

平均 $\mu$ を求める→標準偏差 $\sigma$ を求める→偏差値を求める

という流れです。 $N=5$ の場合の具体例でそれぞれの人の偏差値を求めてみます。

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