2014/07/15

偏差値の計算方法と様々な性質

分野: データの分析,確率  レベル: 基本公式

平均を $\mu$,標準偏差を $\sigma$,得点を $x_i$ とすると,偏差値 $T_i$ は,
$T_i=10\dfrac{x_i-\mu}{\sigma}+50$


新課程ではデータの分析が数1に加わりました。
偏差値に関する様々な性質は教養として知っておくとよいでしょう。

平均と標準偏差

$N$ 人のテストの場合を考えます。それぞれの点数を $x_1, x_2, \cdots, x_N$ とおきます。

平均 $\mu$ は期待値とも呼ばれるお馴染みの指標です:
$\mu=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^Nx_i$
平均的な人が取る点数が $\mu$ 点ということです。

標準偏差 $\sigma$ は分布の散らばり方を表している指標です。
$\sigma=\sqrt{\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}$
$\sigma$ が大きいほど分布が偏っている,つまり高得点や低得点の人がたくさんいることになります。

実際に偏差値の計算を行うときは平均 $\mu$ を求める→標準偏差 $\sigma$ を求める→偏差値を求めるという流れになります。

具体例

実際に $N=5$ の場合の具体例でそれぞれの人の偏差値を求めてみます。

$5$ 人の点数を $60, 70, 80, 95, 95$ 点とします。
平均は,$\mu=\dfrac{1}{5}(60+70+80+95+95)=80$
標準偏差は,$\sigma=\sqrt{\dfrac{1}{5}(20^2+10^2+0^2+15^2+15^2)}=\sqrt{190}$

よって例えば $60$ 点の人の偏差値は,
$10\dfrac{60-80}{\sqrt{190}}+50\simeq 35.5$

$80$ 点の人の偏差値は,
$10\dfrac{80-80}{\sqrt{190}}+50=50$

$95$ 点の人の偏差値は,
$10\dfrac{95-80}{\sqrt{190}}+50\simeq 60.9$

偏差値の様々な性質

・平均点の人は偏差値 $50$
偏差値の定義から $x_i=\mu$ のとき $T_i=50$ となります。

・標準偏差が大きいほど高偏差値も低偏差値もとりにくい
$\sigma$ が大きいほど $T_i$ を表す1次関数の傾きが緩やかになります。

・偏差値がマイナスになることも $100$ を超えることもある
$100$ 人のテストで自分以外が全員 $0$ 点で自分が $100$ 点なら $\mu=1, \sigma=9.9$
で自分の偏差値は $150$ になります!!!

・ $\mu+\sigma$ 点だと偏差値 $60$,$\mu+2\sigma$ 点だと偏差値 $70$
偏差値 $60$ 以上は全体の $15$ %, $70$ 以上は全体の $2$ %程度となる場合が多いです。

三桁の偏差値をとってみたいものです

Tag: 難しめの数学雑学・ネタまとめ

分野: データの分析,確率  レベル: 基本公式