2014/04/24

平面の方程式とその3通りの求め方

分野: 座標,ベクトル  レベル: 最難関大学

$xyz$ 空間上の平面の方程式は一次式 $ax+by+cz+d=0$ という形で表すことができる。


このページでは実際に通る3点が与えられたときにその平面の方程式を求める方法を3通り紹介します。方法1と方法3は平面の方程式が一次式で表される理由の説明にもなっています。

1:ベクトルの外積と法線ベクトルを用いる方法
2:連立方程式を解く方法
3:ベクトル方程式を用いる方法

例として,3点 $A(1,1,2),B(0,-2,1),C(3,-1,0)$ を通る平面の方程式について考えていきます。

1:外積と法線ベクトルを用いる方法

レベルは高いですが3つの中で最も計算が単純な方法です。

法線ベクトル

平面内のベクトルは全てある定ベクトルと垂直になります。そのような定ベクトルを法線ベクトルと言い,$\overrightarrow{n}=(p,q,r)$ で表します。よって,平面上の任意の一点を $A(x_0,y_0,z_0)$ として,

点 $P(x,y,z)$ が求める平面上にある⇔
$\overrightarrow{AP}$ と法線ベクトル $\overrightarrow{n}$ が垂直⇔
$p(x-x_0)+q(y-y_0)+r(z-z_0)=0$

となります。これが求める平面の方程式です。

よって,法線ベクトルを求めればよいわけです。
法線ベクトルは,$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ に垂直なベクトルで,これはベクトルの外積を用いれば一瞬で求めることができます。→内積と外積の本質的な意味と嬉しさ

$\overrightarrow{AB}=(-1,-3,-1),\overrightarrow{AC}=(2,-2,-2)$
より法線ベクトルは,$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\\
=(-3(-2)-(-1)(-2),(-1)2-(-1)(-2),-1(-2)-(-3)2)\\=(4,-4,8)$
よって,求める平面の方程式は,
$4(x-1)-4(y-1)+8(z-2)=0$
これを整理して,$x-y+2z-4=0$

2:連立方程式を解く方法

平面上の直線の方程式は通る2点を代入して連立方程式を解くことで求めることができました。それと同様に通る3点を代入することで平面の方程式を求めることができます。(空間の性質は平面の場合の手法を一般化できないか考えるべし

上記の例のように未知数が4つで方程式は3つなので連立方程式の解は1つに決まりません。 $d$ を定数と見て $a,b,c$ について解き,最後に $d$ で割って整理しましょう。

$ax+by+cz+d=0$ に通る3点の値を代入して,
$a+b+2c+d=0\\
-2b+c+d=0\\
3a-b+d=0$
これを解いて,$a=-\dfrac{d}{4},b=\dfrac{d}{4},c=-\dfrac{d}{2}$
よって求める平面の方程式は,$-\dfrac{d}{4}x+\dfrac{d}{4}y-\dfrac{d}{2}z+d=0$
つまり,$x-y+2z-4=0$

3:ベクトル方程式を用いる方法

平面上の任意の点 $P$ は,実数 $s,t$ を用いて,
$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$
と表すことができます。始点を原点に直すと,
$\overrightarrow{OP}=(1-s-t)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}$
この形でも平面の方程式を表せているので答えになっています。 $ax+by+cz+d=0$ の形に直したいときには連立方程式を解いて $s,t$ を消去しないといけないので少しめんどくさいです。

$P=(x,y,z)$ とおくと,上記の公式より
$x=(1-s-t)+3t\\
y=(1-s-t)-2s-t\\
z=2(1-s-t)+s$
これを整理して $s,t$ を消去すると,$x-y+2{z}-4=0$ を得る。
(この例の場合は $t$ を消去するのがよい)

どの方法でも良いので高速で計算できるようになっておきましょう!

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