2014/05/21

黄金比にまつわる話題

分野: その他

$\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ は黄金比と呼ばれ,いろいろな場所に出現する。


「 $1:\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ という比率」を黄金比と呼ぶこともありますし,単純に $\phi$ のことを黄金比と呼ぶこともあります。

黄金比と2次方程式

$\phi$ の近似値は $1,618$ です。 $1.6$ までは覚えておくとよいでしょう。

黄金比は様々な場面で登場します、まずは最も重要な性質を紹介します。

性質1:黄金比は方程式 $x^2-x-1=0$ の解である。

性質1は二次方程式を実際に解くことで簡単に確認できます。黄金比の定義と見ることもできます。数学の諸分野や自然界に黄金比が登場するのは,全て性質1が元になっています。

すなわち,なんらかのシステムが $x^2-x-1=0$ という方程式の成立を要求するときにそのシステムに黄金比が登場するわけです。様々な場面で黄金比が登場するので神秘的に思えますが,その背後には必ず上記の方程式があり,この方程式がいろいろな場面で登場するというわけです。

以下では黄金比が登場する,すなわち上記の方程式が登場する様々な例を紹介します。

黄金比と代数

黄金比はルートを無限個用いて表すことができます。また,無限連分数展開で表示することができます。

性質2:$s=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}$ とおくと $s$ は黄金比
性質3:$t=1+\dfrac{1}{1+\tfrac{1}{1+\tfrac{1}{1+\tfrac{1}{1+\cdots}}}}$ とおくと $t$ は黄金比

性質2の証明:$s$ は $s=\sqrt{1+s}$ を満たす正の数です。これは整理すると $s > 0$ かつ $s^2-s-1=0$ となり黄金比が登場します。

性質3の証明:$t$ は $t=1+\dfrac{1}{t}$ を満たす正の数です。これは整理すると $t > 0$ かつ $t^2-t-1=0$ となり黄金比が登場します。

背後には方程式 $x^2-x-1=0$ が潜んでいます。

フィボナッチ数列の隣り合う項の比の極限は黄金比である

これはフィボナッチ数列の漸化式 $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ の特性方程式が $x^2-x-1=0$ であることに起因しています。

詳しくは以下を参照してください。
→フィボナッチ数列の一般項と数学的帰納法

黄金比と図形

頂角が $36^{\circ}$ の二等辺三角形の辺の比は黄金比です。
詳しくは覚えておくと便利な三角比の値の下の方を参照してください。

また,本質的には同じことですが一辺が1の正五角形の対角線の長さは黄金比です。
詳しくは→トレミーの定理とその証明,応用例の応用例2を参照してください。

さらに,正二十面体を座標表示したときにも黄金比が登場します。
詳しくは→正二十面体の対角線・体積を座標でエレガントに導出を参照してください。

しつこいようですが,全て方程式 $x^2-x-1=0$ が元になっています。

いろいろなとこに黄金比

  • パルテノン神殿の縦横比など,建築にも黄金比が登場するらしいです。
  • 巻き貝や植物の形など自然界にも黄金比が登場するらしいです。
  • 「黄金比は人間が最も美しいと感じる比率である」という説もあるらしいです。
ちなみに「白銀比」もあるらしいです。
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