2015/02/18

一般化二項定理とルートなどの近似

分野: 解析  レベル: 大学数学

一般化二項定理:
$|x|<1$ なる複素数 $x$ と,任意の複素数 $\alpha$ に対して $(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots$
が成立する。


この記事では一般化二項定理について, $x$ と $\alpha$ が実数の場合を詳しく解説します。

二項定理との関係

一般化二項定理を無限級数の形できちんと書くと,

$(1+x)^{\alpha}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}F(\alpha,k)x^k=1+\alpha x+\cdots $
ただし,$F(\alpha,k)=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}\:(k\geq 1)$
$F(\alpha,k)=1\:(k=0)$
は二項係数の一般化です。

〜 $\alpha$ が正の整数の場合〜
$k$ が $\alpha$ 以下の非負整数のとき,$F(\alpha,k)$ は二項係数${}_{\alpha}\mathrm{C}_k$ と一致します。

また,$k$ が $\alpha$ より大きい場合,$F(\alpha,k)=0$ となります($\alpha-\alpha$ という項が分子に登場する)。

以上より,上の無限級数は以下の有限和になります:
$(1+x)^{\alpha}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\alpha}{}_{\alpha}\mathrm{C}_kx^k$
これはいつもの二項定理です!すなわち,一般化二項定理は指数が正の整数でない場合にも拡張した二項定理とみなすことができます。証明は後半で。

ルートなどの近似式

一般化二項定理を使うことでルートなどを近似することができます:

ルートの近似公式(一次近似): $x$ が十分 $0$ に近いとき $\sqrt{1+x}$ は $1+\dfrac{x}{2}$ で近似できる。

高校物理でもよく使う近似式です。背後には一般化二項定理(テイラー展開)があったのです!

例1

$\sqrt{1.01}$ を近似せよ

解答

$\sqrt{1.01}=(1+0.01)^{\frac{1}{2}}$
なので,$\alpha=\dfrac{1}{2}$ の場合の一般化二項定理が使える:

$\sqrt{1.01}=1+\dfrac{0.01}{2}+\dfrac{0.5(0.5-1)}{2!}0.01^2+\cdots $
右辺第三項以降は $0.01$ の高次の項であり無視すると,
$\sqrt{1.01}\simeq 1+\dfrac{0.01}{2}=1.005$
となる。(実際は $\sqrt{1.01}=1.004987\cdots$ となっています。)

同様に,三乗根などにも使えます。

例2

$\sqrt[3]{27.54}$ を近似せよ

解答

$(27+0.54)^{\frac{1}{3}}=3(1+0.02)^{\frac{1}{3}}\simeq 3(1+\frac{0.02}{3})=3.02$

一般化二項定理を $\alpha=\dfrac{1}{3}$ として使いました。なお,近似精度が悪い場合は $x^2$ の項まで残すことで精度が上がります(二次近似)。


一般化二項定理の応用例として,楕円の周の長さの求め方と近似公式もどうぞ。

テイラー展開による証明

一般化二項定理の証明にはマクローリン展開($x=0$ でのテイラー展開)を用います。

$\alpha$ が非負整数の場合にはただの二項定理なのでそれ以外の場合(有限和で打ち切られない場合)を考えます。

証明

$f(x)=(1+x)^{\alpha}$ のマクローリン展開を求める。

そのために $f(x)$ の $k$ 階微分を求める:
$f^{(k)}(x)=\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k}$
これに $x=0$ を代入すると,$F(\alpha,k)k!$ となる。

よって $f(x)$ のマクローリン展開は,
$f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{F(\alpha,k)k!}{k!}x^k=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}F(\alpha,k)x^k$
となる。

さらに,この級数の収束半径 $r$ が $1$ であることを証明する必要がある。
実際,ダランベールの判定法より,
$\dfrac{1}{r}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{F(\alpha,n+1)}{F(\alpha,n)}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{\alpha-n}{n+1}\right|=1$
よりOK。

ダランベールの判定法は便利ですねえ!

Tag: マクローリン展開の応用例まとめ

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