フォイエルバッハの定理と計算による証明

目標は $|\overrightarrow{OI}-\overrightarrow{ON}|^2=\left(\dfrac{R}{2}-r\right)^2$

前提知識2，5より $\overrightarrow{ON}=\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$

これと前提知識4より

$\overrightarrow{OI}-\overrightarrow{ON}\\ =\left(\dfrac{a}{a+b+c}-\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{a}+\left(\dfrac{b}{a+b+c}-\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{b}\\+\left(\dfrac{c}{a+b+c}-\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{c}$

この二乗を計算すればよい。ただし，$|\overrightarrow{a}|^2=R^2,\:\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=R^2\cos 2C$ などに注意する（後者は外接円に関する円周角と中心角の関係から）。

途中で前提知識3を用いて気合いで計算（後述）すると $\dfrac{R^2}{4}-Rr+r^2$ となる。

さきほどの議論より，$|\overrightarrow{OI}-\overrightarrow{ON}|^2\\= (\dfrac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{a+b+c}{a+b+c})R^2\\ +(\dfrac{2ab}{(a+b+c)^2}-\dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{1}{2})R^2\cos 2C\\ +(\dfrac{2bc}{(a+b+c)^2}-\dfrac{b+c}{a+b+c}+\dfrac{1}{2})R^2\cos 2A\\ +(\dfrac{2ca}{(a+b+c)^2}-\dfrac{c+a}{a+b+c}+\dfrac{1}{2})R^2\cos 2B$

これに $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ および半角の公式 $\cos 2C=1-2\sin^2 C$ などを用いる：

$(\dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}+\dfrac{3}{4}-1-\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}+\dfrac{3}{2})R^2\\ -(\dfrac{4ab}{(a+b+c)^2}-\dfrac{2a+2b}{a+b+c}+1)R^2\sin^2 C\\ -(\dfrac{4bc}{(a+b+c)^2}-\dfrac{2b+2c}{a+b+c}+1)R^2\sin^2 A\\ -(\dfrac{4ca}{(a+b+c)^2}-\dfrac{2c+2a}{a+b+c}+1)R^2\sin^2 B$

一行目は簡単になり，他の行は正弦定理 $R^2\sin^2 C=\dfrac{c^2}{4}$ などを用いて変形する：

$\dfrac{R^2}{4}\\ -(\dfrac{abc^2}{(a+b+c)^2}-\dfrac{ac^2+bc^2}{2(a+b+c)}+\dfrac{c^2}{4})\\ -(\dfrac{a^2bc}{(a+b+c)^2}-\dfrac{ba^2+ca^2}{2(a+b+c)}+\dfrac{a^2}{4})\\ -(\dfrac{ab^2c}{(a+b+c)^2}-\dfrac{cb^2+ab^2}{2(a+b+c)}+\dfrac{b^2}{4})\\ =\dfrac{R^2}{4}-\dfrac{abc}{a+b+c}+\dfrac{\displaystyle\sum_{\mathrm{sym}}a^2b}{2(a+b+c)}-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}$

ここで前提知識3より第二項は $-2Rr$ であり，後ろ二項を通分する：

$\dfrac{R^2}{4}-2Rr+\dfrac{\displaystyle\sum_{\mathrm{sym}}a^2b-(a^3+b^3+c^3)}{4(a+b+c)}$

目標の式と比較して強引に $Rr$ を作り出す：

$\dfrac{R^2}{4}-2Rr+\dfrac{2abc}{4(a+b+c)}+\dfrac{\displaystyle\sum_{\mathrm{sym}}a^2b-(a^3+b^3+c^3)-2abc}{4(a+b+c)}\\ =\dfrac{R^2}{4}-Rr+\dfrac{\displaystyle\sum_{\mathrm{sym}}a^2b-(a^3+b^3+c^3)-2abc}{4(a+b+c)}$

あとは，一番後ろの項が $r^2$ と等しいことを言えばよい。これにはヘロンの公式を用いる：

$r^2=\dfrac{4S^2}{(a+b+c)^2}\\ =\dfrac{4\cdot\frac{1}{16}(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{(a+b+c)^2}\\ =\dfrac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}\\ =\dfrac{\displaystyle\sum_{\mathrm{sym}}a^2b-(a^3+b^3+c^3)-2abc}{4(a+b+c)}$

となり目標の式を得た！