2014/03/29

オイラーの公式・定理まとめ

分野: まとめ

レオンハルト・オイラーは偉大な数学者で,いろいろな分野で業績を残しています。オイラーの定理,公式はたくさんあり,この他にもオイラーと名のつくものが存在しますが,主要なもの,高校数学で理解できるものを中心にまとめました。(順番は適当です)

美しい定理が並んでいますが,大学受験ではどれもほとんど使わないと思います。(4,6あたりは知っていると役に立つかもしれません)
数学オリンピックを目指す場合は7以外は知っておきたいところです。

1:チャップル・オイラーの定理

$OI^2=R^2-2Rr$

外心と内心の距離を外接円の半径と内接円の半径のみで表した非常に美しい定理です。チャップルもオイラーとは独立に発見していたようです。
→オイラーの定理(初等幾何)

2:博士の愛した数式

$e^{\pi i}+1=0$

自然対数の底 $e$,虚数単位 $i$,円周率 $\pi$ が共存する非常に美しい等式です。
→複素指数関数とオイラーの公式

3:オイラーの多面体定理

任意の穴の開いていない多面体において,
(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)=2

全ての多面体に共通する非常に美しい性質です。
→オイラーの多面体定理の証明

4:オイラーの定理(整数論)

$n$ を自然数,$a$ を $n$ と互いに素な整数としたとき,$a^{\phi(n)}\equiv 1 \:\mathrm{mod}\:n$

$\phi(n)$ は $n$ と互いに素な $1$ から $n-1$ までの自然数の中で $n$ と互いに素なものの個数を表し,オイラーの $\phi$ 関数と呼ばれます。
→オイラーのファイ関数のイメージ

5:オイラーグラフ(一筆書き)

オイラーグラフ⇔全ての頂点から辺が偶数本出ている
準オイラーグラフ⇔辺が奇数本出ている頂点が2つのみ

一筆書きできるかできないか判定する方法です。
→オイラーグラフの定理とその証明

6:オイラー線

三角形の外心 $O$,重心 $G$,垂心 $H$ は1直線上にあり,$OG:GH=1:2$

この直線をオイラー線といいます。チャップル・オイラーの定理に勝るとも劣らない美しい定理です。
→オイラー線の3通りの証明

7:オイラー・ラグランジュ方程式(変分法)

これだけは高校範囲ではありませんが、、

$\dfrac{\partial L}{\partial x}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}=0$

ニュートンの運動方程式を変形していくとオイラー・ラグランジュ方程式になります。この方程式は変分法と呼ばれる手法の基礎になっており,大学で学びます。詳細は説明できませんが,変分法を学べば最速降下線や懸垂線の理解が深まります。

変分法の応用例:→懸垂線の2通りの導出

8:オイラーの公式(無限積)

オイラーの公式:
$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\cos(\dfrac{x}{2^n})=\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{4}\cos\dfrac{x}{8}\cdots=\dfrac{\sin x}{x}$

→ヴィエトの無限積の公式

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