2014/12/24

二次曲線の分類(四通りの方法)

分野: 二次曲線  レベル: 最難関大学

二次曲線の分類

変数が二つの場合の二次曲線(楕円,双曲線,放物線)を四種類の特徴に注目して分類します。放物線はいろいろな意味で楕円と双曲線の境界にいることが分かります。

1:円錐を切る角度
2:離心率
3:二次形式の行列式
4:エネルギー

円錐を切る角度による分類

円錐曲線

・二次曲線は円錐曲線とも呼ばれるように,円錐を平面で切った切り口として登場します(計算で証明できます)。

・無限に大きな同じ二つの円錐を持ってきて,そのうち一つをひっくり返した図形(図では灰色の領域を点線を中心に回転させたもの)を考えます。この図形を平面で切るとき,母線の傾きと切る平面の傾きの大小関係で円錐曲線が分類できます。

平面が母線より緩いとき楕円
平面が母線より急なとき双曲線
平面が母線と平行なとき放物線

図は楕円の場合です。円錐を切る様子を3通りイメージしてみてください。

離心率(軌跡)による分類

  • 直線 $l$ と点 $P$ からの距離の比が $\epsilon$ で一定であるような点の軌跡は二次曲線となります。簡単な計算で証明できます。
  • $\epsilon=1$ の場合が特に有名です。→放物線の準線・焦点と一般化

・ $\epsilon$ を離心率と言います。離心率を用いて二次曲線を分類することができます:

$0 <\epsilon <1$ のとき楕円
$1 <\epsilon$ のとき双曲線
$\epsilon =1$ のとき放物線

式による分類

・ $xy$ 平面上で $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
という式が表す曲線は一般に楕円,放物線,双曲線です(直線,二直線,解なしなどつまらない例もある)。二次曲線と呼ばれる理由です。

・(上記のつまらない例でないもとで)$D=ac-\dfrac{b^2}{4}$ の符号を見ることで二次曲線を分類することができます:

$D > 0$ のとき楕円
$D <0$ のとき双曲線
$D = 0$ のとき放物線

  • 高校数学では $b=0$ の場合しかほとんど登場しません。
  • 回転と平行移動を適切に行うことで曲線を $Ax^2+By^2=C$ という形に変換することで証明できます。高校数学でできないこともないですが,大学の線形代数で固有値,直交変換あたりの概念を習うとスッキリと理解できます。

エネルギーによる分類

離心率とほぼ同じことですが,物理的な見方をすることもできます。地球が太陽を焦点の一つとする楕円軌道を描いていることは有名ですね。

・力学で二体問題の解軌道は二次曲線になります。例えば,宇宙空間に地球と太陽しかないと仮定すると地球の軌道は二次曲線になります(証明は大学の力学で)。厳密には他の星とかも影響してくるので微妙にずれます。

・このとき描く軌道は両者が持つエネルギーで見ることができます。簡単のため片方の星が静止している場合を考えます。
もう片方の星のエネルギーを $E$ とおくと以下が成立します。

$E <0$ のとき楕円
$E > 0$ のとき双曲線
$E=0$ のとき放物線

・ $E <0$ のとき,万有引力による束縛が強いためぐるぐる回ります。 $E \geq 0$ のとき,星のスピードが速すぎて二度と戻ってきません。

変数の数がもっと増えた場合は行列のシルベスター標準形を考えることになります。

Tag: 数学3の教科書に載っている公式の解説一覧

分野: 二次曲線  レベル: 最難関大学