2014/04/22

とにかく美しい数学公式まとめ

分野: まとめ

実用性なんて知りません,でも大学の先生も美しい定理は好きなので入試の題材になるかもしれないとか期待しています。

とにかく美しい数学公式

1:フランク・モーリーの定理の証明
どんな三角形でも角の三等分線によって真ん中に正三角形ができるというおそるべき定理。

2:オイラーの多面体定理の証明
オイラーと名のつく定理は美しいものが多いですがその中でもこれは外せません。

3:Weitzenbockの不等式
三角形の辺の長さと面積に関する不等式です。幾何不等式は美しいものが多いです。

4:行列・関数・多項式に共通する有名な性質
複数分野にまたがって共通の性質が成り立つというのが数学のおもしろさです。

5:log2に収束する交代級数の証明
ぶんすうを たしひきすると あらふしぎ しぜんたいすう でてきちゃったよ

6:攪乱順列の公式
もんもーる くみあわせのかず かぞえたら ねいぴあすうが でてきちゃったよ

7:チェバの定理の3通りの証明
僕は面積比を利用したチェバの定理の証明が大好きです。

8:フェルマーの最終定理:
$n\geq 3$ のとき $x^n+y^n=z^n$ を満たす自然数 $x,y,z$ は存在しない。

一般の場合はさすがに証明できませんが,$n=4$ の場合の証明は無限降下法を用いてできます。
→無限降下法の整数問題への応用例

数学の公式、定理が美しいとは

「美しい」公式をまとめていて,僕がどのような公式を美しいと感じるのか規則性が見えてきました。上のリストは僕の独断と偏見に基づいていますが,定理が美しいと思う感覚はみんな似ているような気がします。

公式が美しい→公式が「自明でない」かつ「単純な形」
証明が美しい→類題にはない独特な発想によるもの

フランクモーリーの定理とかフェルマーの最終定理はまさに「自明でない」かつ「単純な形(主張が分かりやすい)」を満たしています。

主張が長いと定理のステートメントを読むだけで億劫になってしまうので,多くの人を感動させるためには「主張のわかりやすさ」が重要ということですね。

高校数学の本当に美しい部分はほとんど教科書に載っていません
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