2015/04/23

いろいろな確率分布の平均,分散,特性関数などまとめ

分野: まとめ

様々な種類の確率分布を一覧にしました。確率密度関数,平均,分散,特性関数,意味などを整理。

離散型確率分布

・二項分布
確率関数:$P_{n,p}(k)={}_n\mathrm{C}_kp^k(1-p)^{n-k}$
平均:$np$,分散:$np(1-p)$
特性関数:$\phi(t)=(1-p+pe^{it})^n$
補足:反復試行の際,当たる回数を表す
→二項分布の平均と分散の二通りの証明


・多項分布
確率関数:$P_{n,p_1,\cdots,p_k}(n_1,\cdots,n_k)=\dfrac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$(各 $n_i$ が非負で $n_1+\cdots +n_k=n$ のときはこの値,それ以外のときは $0$)
$N_i$ の平均:$np_i$,$N_i$ の分散:$np_i(1-p_i)$
特性関数:$\phi(t_1,\cdots,t_k)=(p_1e^{it_1}+\cdots +p_ke^{it_k})^n$
補足:二項分布の一般化
→多項分布の意味と平均,分散,共分散などの計算


・ポアソン分布
確率関数:$P_{\lambda}(k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$
平均:$\lambda$,分散:$\lambda$
特性関数:$\phi(t)=e^{\lambda(e^{it}-1)}$
補足:ランダムな事象が単位時間に起きる回数を表す
→ポアソン分布の意味と平均・分散


・幾何分布
確率関数:$P_p(k)=p(1-p)^{k-1}$
平均:$\dfrac{1}{p}$,分散:$\dfrac{1-p}{p^2}$
特性関数:$\phi(t)=\dfrac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}$
補足:指数分布の離散バージョン,カウントの仕方に関して二通りの流儀があるので注意。
→幾何分布の具体例と期待値,無記憶性について


・負の二項分布
確率関数:$P_{p,k}(x)=\dbinom{x-1}{k-1}p^{k}(1-p)^{x-k}$
平均:$\dfrac{k}{p}$,分散:$\dfrac{k(1-p)}{p^2}$
補足:幾何分布の和。ガンマ分布の離散バージョン。
→負の二項分布の意味と期待値、分散


・離散型一様分布
確率関数:$P(k)=\dfrac{1}{n}$($n$ 種類のとき)
補足:連続型の方が頻出

連続型確率分布

・連続型一様分布
密度関数:$f_{a,b}(x)=\dfrac{1}{b-a}$
平均:$\dfrac{a+b}{2}$,分散:$\dfrac{(b-a)^2}{12}$
特性関数:$\phi(t)=\dfrac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$
補足:完全に「ランダム」な事象を記述
→一様分布の平均,分散,特性関数など


・正規分布
密度関数:$f_{\mu,\sigma^2}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$
平均:$\mu$,分散:$\sigma^2$
特性関数:$\phi(t)=\exp(i\mu t-\dfrac{\sigma^2t^2}{2})$
補足:ランダムノイズ,中心極限定理
→正規分布の基礎的なこと


・対数正規分布
密度関数:$f_{\mu,\sigma}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}\exp\left\{-\dfrac{(\log x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}\:\:(x> 0)$
平均:$\exp \left(\mu+\dfrac{\sigma^2}{2}\right)$,分散:$(e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}$
補足:資産の分布
→対数正規分布の例と平均,分散


・コーシー分布
密度関数:$f_{\mu.\gamma}(x)=\dfrac{1}{\pi\gamma\{1+(\frac{x-\mu}{\gamma})^2\}}$
平均:定義されない,分散:定義されない
特性関数:$e^{i\mu t-\gamma|t|}$
→コーシー分布とその期待値などについて


・カイ二乗分布
密度関数:$f_{n}(x)=\dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\:(x > 0)$
平均:$n$,分散:$2n$
特性関数:$\phi(t)=(1-2it)^{-\frac{n}{2}}$
補足:正規分布の二乗和が従う分布,検定によく使う。ガンマ分布の特殊ケース。
→正規分布の二乗和がカイ二乗分布に従うことの証明


・指数分布
密度関数:$f_{\mu}(x)=\dfrac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}\:(x \geq 0)$
平均:$\mu$,分散:$\mu^2$
特性関数:$\phi(t)=\dfrac{1}{1-i\mu t}$
補足:ランダムなイベントの発生間隔を表す分布,幾何分布の連続バージョン
→指数分布の意味と具体例


・ベータ分布
密度関数:$f_{a,b}(x)=Cx^{a-1}(1-x)^{b-1}\:(0\leq x\leq 1)$
平均:$\dfrac{a}{a+b}$,分散:$\dfrac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$
補足:二項分布の共役事前分布。
→ベータ分布の意味と平均・分散の導出


・ディリクレ分布
密度関数:$f_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n}(x_1,\cdots,x_n)=Cx_1^{\alpha_1-1}\cdots x_n^{\alpha_n-1}$
$X_i$ の平均:$\dfrac{\alpha_i}{\alpha}$,$X_i$ の分散:$\dfrac{\alpha_i(\alpha-\alpha_i)}{\alpha^2(\alpha+1)}$
(ただし $\alpha=\alpha_1+\cdots +\alpha_n$)
補足:多項分布の共役事前分布。ベータ分布を多変量にしたもの。
→ディリクレ分布の意味と正規化,平均などの計算


・フォンミーゼスフィッシャー分布
密度関数:$f_{\mu,k}(x)=Ce^{k\mu^{\top} x}$
(ただし,定義域は $|x|=1$ で,$\mu$ も長さ1のベクトル,$C$ は定数)
→フォンミーゼスフィッシャー分布


・レイリー分布
密度関数:$f_{\sigma^2}(r)=\dfrac{r}{\sigma^2}e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}$
→レイリー分布の期待値、分散、正規分布との関係


・ガンマ分布
密度関数:$f_{\mu,n}(x)=x^{n-1}\dfrac{e^{-\frac{x}{\mu}}}{\Gamma(n)\mu^n}\:(x\geq 0)$
補足:ランダムな事象が $n$ 回起こるまでの時間の分布。
→ガンマ分布の意味と期待値、分散

これからも増やしていきます!
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