2015/09/26

三次方程式の解き方と例題3問

分野: 方程式,恒等式  レベル: 基本公式

三次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の解き方と注意点について解説します。

三次方程式の解き方(基本的な流れ)

三次方程式の係数 $a,b,c,d$ が整数の場合を考えます。 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とおきます。

  1. $f(x_0)=0$ を満たす有理数 $x_0$ を頑張って一つ探す
  2. $f(x)$ を $x-x_0$ で割って因数分解する
  3. 残った二次方程式を解く

詳細は例題を通じて説明します。

例題1(簡単)

三次方程式 $x^3-2x^2-x+2=0$ を解け。

解答

  1. $f(x_0)=0$ を満たす有理数 $x_0$ の候補として $2$ の約数 $\pm 1,\pm 2$ が挙げられる(→注)。試しに $x=1$ とすると $f(1)=0$ となる。
  2. $f(x)$ を $x-1$ で割ると,$f(x)=(x-1)(x^2-x-2)$ となる。
  3. 二つ目の因数をさらに分解すると,$f(x)=(x-1)(x-2)(x+1)$
    よって答えは $x=-1,1,2$

補足

  • $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の有理数解は($d$ の約数)/($a$ の約数)です。→方程式の有理数解
  • この問題は $x=\pm 1,\pm 2$ の候補の中で三つ当たり($-1,1,2$)があったので解きやすい問題です。
  • 多項式の割り算は組立除法を使ってもよいですが,慣れればそんなことしなくても(両辺の係数を合わせる意識で)因数分解できます。
  • きちんと因数分解されれば(割り算の余りが $0$ になれば)ここまでのステップの計算に自信が持てます。

例題2(難しい)

三次方程式 $4x^3-2x^2-6x+3=0$ を解け。

解答

  1. $f(x_0)=0$ を満たす有理数 $x_0$ の候補は $\pm 1,\pm 3,\pm\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{3}{2},\pm\dfrac{1}{4},\pm\dfrac{3}{4}$
    頑張って調べると $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$ となる。
  2. $f(x)$ を $2x-1$ 割ると,$(2x-1)(2x^2-3)=0$
  3. 二つ目の因数から出てくる二次方程式の解と合わせると答えは $x=\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

補足

  • この問題は有理数解の候補がたくさんある中で当たりが一つしかないので解きにくい問題です。
  • $x=\dfrac{q}{p}$ が解の場合,$x-\dfrac{q}{p}$ で割るのではなく $px-q$ で割ると計算が少し楽です。

例題3(無理)

三次方程式 $x^3+3x^2+x+1=0$ を解け。

有理数解の候補は $x=\pm 1$ ですが,これは解になりません。よって,この三次方程式は有理数解を持たず,簡単に解くことはできません。このような三次方程式は入試ではまず登場しないので,登場したら立式の計算ミスを疑いましょう。

ちなみに,三次方程式の解の公式を使えば一応解けます(答えはリンク先の記事末を見てください)。→カルダノの公式と例題

有理数解を一発で当てられると嬉しいですね。
分野: 方程式,恒等式  レベル: 基本公式