クラメルの公式の具体例と証明

一般の場合のクラメルの公式を述べる前に，まずは2変数の連立方程式を見てみます。

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{cases}$$

という連立方程式の解は，$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0$ のもとで，

$$x_1=\dfrac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\\ x_2=\dfrac{a_{11}b_2-b_1a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$$

となります。

これを，行列式を使って表すと，

$$x_1=\dfrac{\det A_1}{\det A}\\ x_2=\dfrac{\det A_2}{\det A}$$

となります。

ただし，

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$ は係数を並べた行列です。

$A_1=\begin{pmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{pmatrix}$ は $A$ の第1列を $\overrightarrow{b}$ に変えた行列です。

$A_2=\begin{pmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{pmatrix}$ は $A$ の第2列を $\overrightarrow{b}$ に変えた行列です。

また，$\det A$ は $A$ の行列式と呼ばれる量です。→行列式の3つの定義と意味

※2変数の場合のクラメルの公式については，連立方程式の発展的な解き方（検算テクニック）でも解説しています。

2変数の場合を一般化した，以下の公式が成立します。

$n$ 変数，$n$ 本の連立一次方程式は 係数行列の行列式 $\det A$ が $0$ でないならただ一つの解を持ちます。そのようなときに，連立方程式の係数を使って解を明示的に表したのがクラメルの公式です。

ちなみに，$\det A=0$ のときは解が存在しなかったり，無数に存在したりします。

クラメルの公式を使って連立方程式を解いてみます。三次の行列式を四つ計算しないといけないのでけっこう大変です。

※手計算はめんどうなのでWolfram Alphaで計算しました。→Wolfram Alphaのいろいろな使い方23選

クラメルの公式の証明を理解するには，前提知識として余因子展開（ラプラス展開）が必要になります。

クラメルの公式はおもしろいですし，理論的には重要ですが，計算量が多すぎて大規模な連立方程式を解くのには使えません。

$n$ 変数の連立方程式に対してクラメルの公式を使おうとすると，$n$ 次の正方行列の行列式を計算する必要があります。ところが，行列式を（定義に従ってまともに）計算するとものすごい時間（$n!$ くらいの計算量）がかかります。つまり，計算時間について考えると，

• 2変数の場合には検算テクニックとして使えるレベル。→連立方程式の発展的な解き方（検算テクニック）
• 3変数の場合には頑張れば手計算できるレベル（さきほどの例）。
• 5変数以上になると手計算では無理！
• 20変数くらいになるとコンピュータでも無理！

このように，クラメルの公式だと時間がかかり過ぎるので，変数がたくさんある連立一次方程式の解法にはガウスの消去法などが用いられます。 →ガウスの消去法（掃き出し法）による連立一次方程式の解き方