2014/12/11

合成関数の微分公式と例題7問

分野: 極限,微分  レベル: 基本公式

合成関数の微分は(かたまりで微分)×(かたまりの微分)

合成関数の微分の計算方法を例題を通じて体得してください。例題7ができれば何の心配もいりません。

合成関数の微分公式

とりあえず例題の前に合成関数の微分公式を二通りの形で書いておきます。初めての方は例題を見ないとピンと来ないかもしれませんがしばらく我慢してください!二つの公式は本質的には同じものですが理解しやすい方で覚えて下さい。

方法1:$y$ が $u$ の関数で,$u$ が $x$ の関数であるとき,$y$ を $x$ で微分したものは以下のようになります:
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$

こちらの公式に基づくと,かたまりをいちいち $u$ とおいて計算するのでめんどくさいですが,確実です。また,公式も覚えやすいです。初心者向け。


方法2:具体的に二つの関数を $u=g(x)$,$y=f(u)$ とおくと,以下のように書くこともできます:
$\{f(g(x))\}’=f'(g(x))g'(x)$

$g'(x)$ をひとかたまりと見ます。合成関数の微分$=$かたまりで微分したもの($=f'(g(x))$)×かたまりの微分($=g'(x)$)と覚えましょう。慣れたらこちらが速いのでオススメです。

簡単な例題

ここからは合成関数の微分公式を使う例題をひたすらに紹介していきます!なお,$\sqrt{ }$ や $\log$ などを合成しているため定義域が複雑な物もありますが,全ての例題で「定義域の範囲内で微分せよ」と解釈してください。

まずは多項式と多項式の合成関数です:

例題1

$y=(x^2+3x+1)^4$ を微分せよ。

方法1:$u=x^2+3x+1$ とおくと $y=u^4$ である。このとき $\dfrac{du}{dx}=2x+3$,$\dfrac{dy}{du}=4u^3$
よって,$\dfrac{dy}{dx}=4u^3(2x+3)=4(x^2+3x+1)^3(2x+3)$

方法2:$x^2+3x+1$ をかたまりと見る。
かたまりで微分→ $4(x^2+3x+1)^3$
かたまりの微分→ $2x+3$
これらの積が答え。


次はルートの入った合成関数です。

例題2

$y=\sqrt{x^2+1}$ を微分せよ

方法1:$u=x^2+1$ とおくと $y=\sqrt{u}$ である。このとき $\dfrac{du}{dx}=2x$,$\dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}$
よって,$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

方法2:$x^2+1$ をかたまりと見る。
かたまりで微分→ $\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$
かたまりの微分→ $2x$
これらの積が答え。

三角関数などの例題

ここから解答として方法2だけを載せておきます。

三角関数を含む合成関数の微分です。

例題3

$y=\sin (x^3-2)$ を微分せよ

かたまりで微分→ $\cos (x^3-2)$
かたまりの微分→ $3x^2$
よって,答えは $3x^2\cos(x^3-2)$


次は対数関数と三角関数を合成したものです。

例題4

$y=-\log (\cos x)$ を微分せよ

かたまりで微分→$-\dfrac{1}{\cos x}$
かたまりの微分→$-\sin x$
よって答えは $y=\tan x$


次は指数関数とルートの合成です。

例題5

$y=e^{\sqrt{x}}$ を微分せよ

かたまりで微分→ $e^{\sqrt{x}}$
かたまりの微分→ $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
よって答えは $\dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

難しい例題

次は3つの関数(対数関数,三角関数,多項式)を合成したものです。

例題6

$y=\log(\sin (x^3-2))$ を微分せよ

かたまりで微分→ $\dfrac{1}{\sin (x^3-2)}$
かたまりの微分,つまり $\sin (x^3-2)$ の微分にもう一度合成関数の微分を使う。これは例題3より $3x^2\cos (x^3-2)$
よって,答えは $\dfrac{3x^2\cos (x^3-2)}{\sin (x^3-2)}$


最後に僕が本気出して作った関数です。多分こんなのは出題されませんが練習にどうぞ。

例題7

$y=(\sin (\log(\cos(1+e^{4x}))))^3$

以下の六個の関数を全てかけ合わせたものが答えになります!
$3(\sin (\log(\cos(1+e^{4x}))))^2$
$\cos (\log(\cos(1+e^{4x})))$
$\dfrac{1}{\cos (1+e^{4x})}$
$-\sin (1+e^{4x})$
$e^{4x}$
$4$

例題7,かっこがゴチャゴチャしててすみませんm(__)m

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