合成関数の微分公式と例題７問

$u=x^2+3x+1$ とおくと $y=u^4$ となる。

このとき，$u$ を $x$ で微分すると $\dfrac{du}{dx}=2x+3$，

$y$ を $u$ で微分すると $\dfrac{dy}{du}=4u^3$

よって，求めたい微分は，合成関数の微分公式を使うと，

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}\\ =4u^3(2x+3)\\=4(x^2+3x+1)^3(2x+3)$

$x^2+3x+1$ をかたまりと見る。

• かたまりで微分→ $4(x^2+3x+1)^3$
• かたまりの微分→ $2x+3$

これらの積が答え。

微分の定義より，$y=f(g(x))$ の微分は

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}$

ここで，上式は $g(x+h)\neq g(x)$ のもとで以下のように変形できる：

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left\{\dfrac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\times\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}$

ここで，1つめの分母 $g(x+h)-g(x)=k$ とおくと，

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left\{\dfrac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}\times\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}$

と変形できる。$h\to 0$ のとき $k\to 0$ なので，上式の1つめの分数は $f'(g(x))$ となり2つめの分数は $g'(x)$ となる。

• $x$ をちょっと動かしたときに，$u$ がその何倍動くかを表すのが $\dfrac{du}{dx}$
• $u$ をちょっと動かしたときに，$y$ がその何倍動くかを表すのが $\dfrac{dy}{du}$

よって，$x$ をちょっと動かしたときに，$u$ は $\dfrac{du}{dx}$ 倍動き，さらに $y$ はその $\dfrac{dy}{du}$ 倍動くので，結局 $y$ は $x$ の $\dfrac{du}{dx}\times\dfrac{dy}{du}$ 倍動く。

つまり，$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}\times\dfrac{dy}{du}$

$x$ を固定して考える。$f$ の微分の定義より，

• $f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\varepsilon_1(h)h$
• $\displaystyle\lim_{h\to 0}\varepsilon_1(h)=0$

となる $\varepsilon_1(h)$ が存在する。同様に，$g$ の微分の定義より，

• $g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\varepsilon_2(h)h$
• $\displaystyle\lim_{h\to 0}\varepsilon_2(h)=0$

となる $\varepsilon_2(h)$ が存在する。

よって，

$f(g(x+h))=f(g(x)+g'(x)h+\varepsilon_2(h)h)$

であり，$\tilde h=g'(x)h+\varepsilon_2(h)h$ とおくと，上式は

$f(g(x)+\tilde h) \\=f(g(x))+f'(g(x))\tilde h+\varepsilon_1(\tilde h)\tilde h$

以上より，

• $f(g(x+h))=f(g(x))+f'(g(x))g'(x)h+\varepsilon_3(h)h$
• $\displaystyle\lim_{h\to 0}\varepsilon_3(h)=0$

となる $\varepsilon_3(h)$ が存在する。つまり，$f(g(x))$ の微分係数は $f'(g(x))g'(x)$