2016/02/17

三角形の中心(36個)を図示してみた

分野: 平面図形  レベル: マニアック

三角形の中心としては,五心(外心,内心,重心,垂心,傍心)が有名ですが,実は他にもたくさんあります。

ETCというサイトに,9500以上の中心が載っています!
その中でも有名なもの,僕が好きなものなどを 36 個選んで図示してみました。

三角形の中心の図

正三角形から徐々に形を変化させています。なお,中心の位置は上記のサイトの重心座標の情報をもとに,直交座標に変換してプロットしています。

c1
c11
c13
c16
c20

:Incenter(内心)
:Centroid(重心)
:Circumcenter(外心)
:Orthocenter(垂心
:Nine-point center(九点円の中心
:Lemoine point(ルモアーヌ点
:Gergonne point(ジュルゴンヌ点
:Nagel point(ナーゲル点
:Mittenpunkt
:Spieker center
:Kenmotsu point
:Fermat point(フェルマー点
:1st Napoleon point(第一ナポレオン点)
:2nd Napoleon point(第二ナポレオン点
:Clawson point
:De Longchamps point(ド・ロンシャン点)
:2nd power point
:3rd power point
:Brocard midpoint
:Kosnita point
:Bevan point
:Center of sine-triple-angle circle
:Orthocenter of the intouch triangle
:Prasolov point
:3rd Brocard point(第三ブロカール点)
:Square root point
:Yff-Malfatti point
:Isoperimetric point
:Equal detour point
:1st Sharygin point
:Weill point
:Fuhrnmann center
:Morley center(フランクモーリーの正三角形の中心)
:Hofstadter one point
:Hofstadter zero point
:Wabash center

注:点が重なっていたり色が似ているため,見にくいもの,見えないものもあります。

考察など

正三角形の場合,いろいろな意味での中心が一致します。正三角形から離れていくにつれて中心がどんどん散らばっていきます(一番下の図では外側に大きくはみ出してしまって図に書けていない点もある)。本当は中心が散らばっていく様子を動画にしたかったのですが,そこまでの技術と根気はありませんでした。

外心,重心,垂心,九点円の中心は一直線上にあります(オイラー線)。他の多くの中心もオイラー線の近くにあるように見えます。

今までで一番時間をかけた記事です。図を作るのにとても苦労しました。楽しかった!
分野: 平面図形  レベル: マニアック