分野: 座標,ベクトル


座標平面上の三角形の面積及び座標空間上の四面体の体積を高速に求めるための公式を紹介します。
サラスの公式のとその応用例と証明。


二点$(a,0),(0,b)$ を通る直線の方程式は,
$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$

三点$(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$ を通る平面の方程式は,
$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$

ただし,$a,b,c$ は $0$ でない任意の実数です。


内積:2本のベクトルに対してスカラーを対応させる演算
外積:2本のベクトルに対してベクトルを対応させる演算

内積と外積を比較しながら意味を探ることで,高校の教科書では扱わない外積についての理解を深めます。後半は難しいですがかなり面白いと思うのでじっくり読んでみてください!


点 $X$ の重心座標が $[p,q,r]$ である
⇔点 $X$ は $\overrightarrow{x}=\dfrac{p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c}}{p+q+r}$ を満たす点である

重心座標は三角形 $ABC$ に対して点 $X$ がどのあたりにいるのかを表す便利な座標系です!


極線の方程式

円 $x^2+y^2=r^2$ とその外側の点 $A(x_1,y_1)$ から引いた二本の接線の交点をそれぞれ $P,Q$ とおくと,直線 $PQ$ の方程式は $x_1x+y_1y=r^2$

直線 $PQ$ のことを極線と呼びます。(イントネーションは「曲線」とは異なります)


法線ベクトルを求める公式:
$f(x,y)=0$ で表される曲線の$(x, y)$ における法線ベクトルの1つは$(f_x, f_y)$ である。
ただし,$f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}$ は $x$ に関する偏微分。 $f_y$ も同様。

法線ベクトルとは接線に垂直なベクトルのことです。法線ベクトルを求める非常に一般的な公式です。


公式1:座標平面上の異なる二点$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$ を通る直線の方程式は,基本的に
$y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$
で覚えておけばよいが,場面によっては他の表現を用いるべき。


束の考え方:
$s$ と $t$ は実数で少なくとも一つは $0$ でないとする。
$sf(x,y)+tg(x,y)=0$ が表す図形は,
$f(x,y)=0$ が表す図形と $g(x,y)=0$ が表す図形の交点(が存在すれば)を全て通る。

高校数学で頻出の束の考え方について解説します。例として直線束,円束を扱います。「そく」と読みます。


放物線をその軸に関して回転させたときにできる図形を回転放物面と言う。

$xyz$ 座標空間において,放物線 $z=ax^2+b$ を $z$ 軸のまわりに回転させたときにできる図形の方程式は $z=a(x^2+y^2)+b$ である。

回転放物面に関する基本的な知識および関連する東大の入試問題を解説します。


三次元空間における直線の基本形:
点 $A(\overrightarrow{a})$ を通り,方向ベクトルが $\overrightarrow{d}$ であるような直線の方程式は,媒介変数 $t$ を用いて $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{d}$ と表される。

$P(\overrightarrow{p})$ は直線上の点を表します。


ベクトルとは,
1.(主に高校数学で)向きと大きさを持った量,実数二つ組または三つ組
2.(主に大学数学で)ベクトル空間の元
3.(主に日常会話で)方向性

状況,文脈によって意味が変わります。


四点が同一平面上にある条件1(ベクトル)
三次元空間内の四点 $A,B,C,D$ が同一平面上にある
$\iff$
三点 $A,B,C$ が同一直線上にある,または
$\overrightarrow{AD}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$ を満たす実数 $p,q$ が存在する。

四点が同一平面上にあるための条件二つ(ベクトルの条件,行列式の条件)と例題を解説します。


2つの平面 $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$,$a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ のなす角を $\theta$ とすると,
$\cos\theta=\dfrac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$


ベクトル方程式の公式をまとめました。全て丸暗記する必要はありませんが,◯◯のベクトル方程式は?と聞かれたときにすぐに立式できるようになっておきましょう。