分野: 三角比・三角関数


${\rm sin}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
${\rm cos}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
${\rm tan}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2-\sqrt{3}$

$\sin18^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$


微分法を用いて不等式を示す問題の背景。

以下の不等式は三角関数のマクローリン展開が元になっています。

(i) $\sin x\leq x\qquad(x\geq 0)$
(ii) $\cos x\geq 1-\frac{x^2}{2}\qquad(x\in \mathbb{R})$
(iii) $\sin x\geq x-\frac{x^3}{6}\qquad(x\geq 0)$
(iiii) $\cos x\leq 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\qquad(x\in \mathbb{R})$


三角形の内角における和積・積和公式
$A+B+C=\pi$ のとき以下の関係式が成立する:
($\sin$ 和積) $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}$
($\sin$ 積和) $\sin A\sin B\sin C=\dfrac{1}{4}(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$
($\cos$ 和積) $\cos A+\cos B+\cos C=4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}+1$
($\cos$ 積和) $\cos A\cos B\cos C=-\dfrac{1}{4}(\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C+1)$


正弦定理:
三角形 $ABC$ において, $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$

定理自体は単純で教科書にも載っていますが,正弦定理の意味を理解して使いこなすにはいくつかコツを覚えておく必要があります。


定理1(チェビシェフ多項式):
$\cos n\theta$ は $\cos\theta$ の $n$ 次多項式で表せる

そのような $n$ 次多項式をチェビシェフ多項式と呼び,$T_n(x)$ と表します。


(位相が等差数列なら)複素指数関数と等比数列の和の公式を用いて三角関数の和を計算することができる:
$\displaystyle\sum_{k=0}^n\sin(\theta+k\phi)=\dfrac{\sin(\frac{(n+1)\phi}{2})\sin(\theta+\frac{n\phi}{2})}{\sin\frac{\phi}{2}}$
$\displaystyle\sum_{k=0}^n\cos(\theta+k\phi)=\dfrac{\sin(\frac{(n+1)\phi}{2})\cos(\theta+\frac{n\phi}{2})}{\sin\frac{\phi}{2}}$

三角関数の和を求めるタイプの問題に対するかなり万能な方法です。


三角関数の合成公式(サイン):
($a$ と $b$ のいずれかが $0$ でないとき)
$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$
ただし,$\alpha$ は $\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$,$\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を満たす角度。


三角関数の加法定理:任意の実数 $\alpha,\beta$ に対して
1. $\sin (\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
2. $\sin (\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
3. $\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
4. $\cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
(さらに,$\alpha,\beta,\alpha\pm\beta$ の $\tan$ が存在するとき,)
5. $\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
6. $\tan (\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$


度数法よりも弧度法が本質的に優れているという訳ではないが,度数法を使うと比例定数 $\dfrac{\pi}{180}$ がいろいろなところに出現してとてもめんどくさいので弧度法を使うのがよい。


三角関数の積和公式
1. $\sin A\cos B=\dfrac{1}{2}\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}$
2. $\sin A\sin B=\dfrac{1}{2}\{-\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$
3. $\cos A\cos B=\dfrac{1}{2}\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$

三角関数の「積」を「和」にする「公式」です。


倍角の公式:
$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\
=2\cos^2\theta-1\\
=1-2\sin^2\theta$
$\tan 2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$


三角関数の相互関係:

  1. $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
  2. $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
  3. $1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$
  4. $1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}$

1~3は教科書に載っている非常に基本的な公式です。4はあまり有名ではありませんが,3と合わせて覚えておくとよいでしょう。


タンジェントの加法定理:
($\tan$ の中身が全て $\dfrac{\pi}{2}$ の奇数倍でないような任意の実数 $\alpha,\beta$ に対して)
$\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
$\tan (\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

前半は教科書内容,後半は発展的な内容(美しい!)です。