三角比・三角関数

覚えておくと便利な三角比の値~15°の三角比

1515^{\circ}1818^{\circ} の三角比は,値そのもの(または導出方法)を覚えておくとよいでしょう。

sin15=624\sin 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

cos15=6+24\cos 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

tan15=626+2=23\tan 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2-\sqrt{3}

→ 覚えておくと便利な三角比の値

マクローリン展開にまつわる三角関数の不等式

微分法を用いて不等式を示す問題の背景。

以下の不等式は三角関数のマクローリン展開が元になっています。

(i) sinxx(x0)\sin x\leq x\qquad(x\geq 0)

(ii) cosx1x22(xR)\cos x\geq 1-\frac{x^2}{2}\qquad(x\in \mathbb{R})

(iii) sinxxx36(x0)\sin x\geq x-\frac{x^3}{6}\qquad(x\geq 0)

(iiii) cosx1x22+x424(xR)\cos x\leq 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\qquad(x\in \mathbb{R})

→ マクローリン展開にまつわる三角関数の不等式

タンジェントの美しい関係式(tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC)

(i) A+B+C=πA+B+C=\pi のとき

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B\tan C

(ii) α+β+γ=π2\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2} のとき

1tanα+1tanβ+1tanγ=1tanαtanβtanγ\dfrac{1}{\tan \alpha}+\dfrac{1}{\tan \beta}+\dfrac{1}{\tan \gamma}=\dfrac{1}{\tan \alpha \tan \beta\tan \gamma}

→ タンジェントの美しい関係式(tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC)

三倍角の公式:基礎からおもしろい発展形まで

三倍角の公式 とは,θ\theta の三角関数と 3θ3\theta の三角関数の間に成り立つ以下の関係式のことです:

sin3θ=4sin3θ+3sinθ\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta

cos3θ=4cos3θ3cosθ\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta

このページでは,三倍角の公式の証明,応用例についてわかりやすく解説します。

→ 三倍角の公式:基礎からおもしろい発展形まで

外接円の半径と内接円の半径の関係

三角形 ABCABC の内接円の半径を rr , 外接円の半径を RR とするとき以下の式が成立する:

r=4RsinA2sinB2sinC2r=4R\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}

→ 外接円の半径と内接円の半径の関係

三角形の内角における和積公式

三角形の内角における和積・積和公式

A+B+C=πA+B+C=\pi のとき以下の関係式が成立する:

sin\sin 和積) sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}

sin\sin 積和) sinAsinBsinC=14(sin2A+sin2B+sin2C)\sin A\sin B\sin C=\dfrac{1}{4}(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)

cos\cos 和積) cosA+cosB+cosC=4sinA2sinB2sinC2+1\cos A+\cos B+\cos C=4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}+1

cos\cos 積和) cosAcosBcosC=14(cos2A+cos2B+cos2C+1)\cos A\cos B\cos C=-\dfrac{1}{4}(\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C+1)

→ 三角形の内角における和積公式

四倍角の公式の証明と考察

四倍角の公式は加法定理から導ける,オイラーの公式(ド・モアブルの定理)からも導ける。

→ 四倍角の公式の証明と考察

正弦定理の意味と3通りの証明・頻出の応用例

正弦定理とは

正弦定理とは,三角形において,

asinA=bsinB=csinC=2R\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R

が成立するという定理です。ただし,RR は外接円の半径です。

→ 正弦定理の意味と3通りの証明・頻出の応用例

三角関数の基本公式一覧

三角関数の基本的な公式を一覧にしました。青枠内の公式がすべて理解できているか,確認してみてください。

→ 三角関数の基本公式一覧

ヴィエトの無限積の公式

オイラーの公式:

n=1cos(x2n)=cosx2cosx4cosx8=sinxx\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\cos\left(\dfrac{x}{2^n}\right)=\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{4}\cos\dfrac{x}{8}\cdots=\dfrac{\sin x}{x}

→ ヴィエトの無限積の公式

チェビシェフ多項式

定理1(チェビシェフ多項式):

cosnθ\cos n\thetacosθ\cos\thetann 次多項式で表せる

そのような nn 次多項式をチェビシェフ多項式と呼び,Tn(x)T_n(x) と表します。

→ チェビシェフ多項式

位相が等差数列である三角関数の和の公式

(位相が等差数列なら)複素指数関数と等比数列の和の公式を用いて三角関数の和を計算することができる:

k=0nsin(θ+kϕ)=sin((n+1)ϕ2)sin(θ+nϕ2)sinϕ2\displaystyle\sum_{k=0}^n\sin(\theta+k\phi)=\dfrac{\sin(\frac{(n+1)\phi}{2})\sin(\theta+\frac{n\phi}{2})}{\sin\frac{\phi}{2}}

k=0ncos(θ+kϕ)=sin((n+1)ϕ2)cos(θ+nϕ2)sinϕ2\displaystyle\sum_{k=0}^n\cos(\theta+k\phi)=\dfrac{\sin(\frac{(n+1)\phi}{2})\cos(\theta+\frac{n\phi}{2})}{\sin\frac{\phi}{2}}

三角関数の和を求めるタイプの問題に対するかなり万能な方法です。

→ 位相が等差数列である三角関数の和の公式

三角関数の3通りの定義とメリットデメリット

三角関数は図形問題にはもちろんのこといろいろな分野に登場する重要な関数です。以下,三角関数の定義を3通り解説しますが2つめまでは理解して自分でも説明できるようになっておきましょう。

→ 三角関数の3通りの定義とメリットデメリット

tan1°、sin1°、cos1°が無理数であることの証明

tan1\tan 1^{\circ} は有理数か?

非常に有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。

有理数であることか無理数であることを証明せねばなりません。2つの方針のうち一方しかうまくいかないので, この手の問題でどちらの道を選ぶかは自分の直感に頼らざるを得ません。

実は無理数であることを証明するのがうまくいきます。

直感が優れている人は tan1\tan 1^{\circ} は汚そうな数なので無理数だろうと当たりをつけますが,直感が外れた人は余分な時間がかかってしまいます。

→ tan1°、sin1°、cos1°が無理数であることの証明

逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)の意味と性質

y=sinxy=\sin x の逆関数を y=Arcsinxy=\mathrm{Arcsin}x などと書き,逆三角関数と呼ぶ。

逆三角関数のきちんとした定義,グラフ,微分公式などを解説します。

→ 逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)の意味と性質

三角関数sec, cosec, cotと記号の意味

secx=1cosx\sec x=\dfrac{1}{\cos x} , cosecx=1sinx\mathrm{cosec} x=\dfrac{1}{\sin x} , cotx=1tanx\cot x=\dfrac{1}{\tan x}

cosec\mathrm{cosec} のことを csc\csc と書く人もいます。

→ 三角関数sec cosec cotと記号の意味

三角関数の合成のやり方・証明・応用

三角関数の合成公式とは,sin と cos が混ざった式を,sin だけで表すための,以下のような公式です。

asinθ+bcosθ=a2+b2sin(θ+α)a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)

→ 三角関数の合成のやり方・証明・応用

加法定理の証明(一般角に対する厳密な方法)

三角関数の加法定理: 任意の実数 α,β\alpha,\beta に対して

1. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\sin (\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

2. sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ\sin (\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta

3. cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

4. cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ\cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

(さらに,α,β,α±β\alpha,\beta,\alpha\pm\betatan\tan が存在するとき,)

5. tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβ\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}

6. tan(αβ)=tanαtanβ1+tanαtanβ\tan (\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

→ 加法定理の証明(一般角に対する厳密な方法)

度数法ではなく弧度法を使うメリット

弧度法

弧度法とは「半径が 11 で弧の長さが LL である扇形の中心角を LL ラジアンとする」ような角度の表し方。

→ 弧度法の意味と度数法に対するメリット

三角関数を微分すると位相が90度進むこと

sinx\sin x および cosx\cos x は微分すると位相が90度進む。積分すると位相が90度遅れる。

三角関数の微分,積分と位相の進み,遅れについて。交流回路への応用を見据えて。

→ 三角関数を微分すると位相が90度進むこと

積和公式の導出と覚え方

三角関数の積和公式:

1. sinAcosB=12{sin(A+B)+sin(AB)}\sin A\cos B=\dfrac{1}{2}\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}

2. sinAsinB=12{cos(A+B)+cos(AB)}\sin A\sin B=\dfrac{1}{2}\{-\cos(A+B)+\cos(A-B)\}

3. cosAcosB=12{cos(A+B)+cos(AB)}\cos A\cos B=\dfrac{1}{2}\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}

三角関数の「積」を「和」にする「公式」です。

→ 積和公式の導出と覚え方

正接定理とその証明

正接定理:三角形 ABCABC において,

tanAB2tanA+B2=aba+b\dfrac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}=\dfrac{a-b}{a+b}

→ 正接定理とその証明

90°+θ,180°+θなどの三角比の公式と覚え方

三角関数の還元公式一覧およびその覚え方(導出方法)を解説します。

→ 90°+θ,180°+θなどの三角比の公式と覚え方

2倍角の公式とその証明

2倍角の公式:

sin2θ=2sinθcosθ\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta

cos2θ=cos2θsin2θ=2cos2θ1=12sin2θ\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\ =2\cos^2\theta-1\\ =1-2\sin^2\theta

tan2θ=2tanθ1tan2θ\tan 2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}

倍角の公式(2倍角の公式)の意味,証明,および図形的な考察について紹介します。

→ 2倍角の公式とその証明

三角関数の相互関係とその証明

  1. sin2θ+cos2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

  2. tanθ=sinθcosθ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}

  3. 1+tan2θ=1cos2θ1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}

三角関数 sinθ,cosθ,tanθ\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta の間には,上記のような3つの関係式が成立します。これらの関係式のことを, 三角関数の相互関係と言います。

このページでは,三角関数の相互関係の証明を2通り解説します。

→ 三角関数の相互関係とその証明

y=tanxのグラフといろいろな性質

y=tanxy=\tan x という関数について,そのグラフおよび基本的な性質(グラフを描く際に意識すべきポイント)についてまとめました。

→ y=tanxのグラフといろいろな性質

タンジェントの加法定理とその拡張

タンジェントの加法定理:

tan\tan の中身が全て π2\dfrac{\pi}{2} の奇数倍でないような任意の実数 α,β\alpha,\beta に対して)

tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβ\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}

tan(αβ)=tanαtanβ1+tanαtanβ\tan (\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

前半は教科書内容,後半は発展的な内容(美しい!)です。

→ タンジェントの加法定理とその拡張

三角関数の微分公式と問題例

三角関数の微分公式

(sinx)=cosx(cosx)=sinx(tanx)=1cos2x(Arcsin x)=11x2(Arccos x)=11x2(Arctan x)=11+x2 \begin{aligned} (\sin x)' &= \cos x\\ (\cos x)' &= -\sin x\\ (\tan x)' &= \dfrac{1}{\cos^2 x}\\ (\mathrm{Arcsin}~ x)' &= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\mathrm{Arccos}~ x)' &= -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\mathrm{Arctan}~ x)' &= \dfrac{1}{1+x^2}\\ \end{aligned}

この記事では,三角関数サイン・コサイン・タンジェントに関する公式の簡単な証明,その公式を使った問題例について解説します。

→ 三角関数の微分公式と問題例

三角形の面積のベクトル・成分を用いた公式

OAundefined=aundefined=(a1a2), OBundefined=bundefined=(b1b2)\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a} = \left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2 \end{array} \right), ~ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b} = \left( \begin{array}{c} b_1\\ b_2 \end{array} \right) としたとき,三角形 OABOAB の面積 SS は以下のように表せる。

S=12aundefined2bundefined2(aundefinedbundefined)2(1)S = \dfrac{1}{2}\sqrt{\|\overrightarrow{a}\|^2\|\overrightarrow{b}\|^2 - \left(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\right)^2}\tag{1} S=12a1b2a2b1(2)S = \dfrac{1}{2}| a_1b_2 - a_2b_1| \tag{2}

三角形OAB

ベクトルや座標平面上に表された三角形の面積を表す公式について,証明とその利用例を解説します。

→ 三角形の面積のベクトル・成分を用いた公式

三角方程式の解き方

三角方程式

三角方程式とは,

cosθ=22 \cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

ような三角関数を含む方程式のことです。

→ 三角方程式の解き方

直角三角形の定義とさまざまな公式

直角三角形とは,1つの角が直角である三角形のことです。

直角三角形のさまざまな性質を紹介します。

→ 直角三角形の定義とさまざまな公式

三角関数のグラフの特徴と簡単な書き方

この記事では三角関数のグラフの書き方を説明します。物理でも正弦波として頻出です。是非おさえておきましょう。

→ 三角関数のグラフの特徴と簡単な書き方

余弦定理とその証明

余弦定理は三角関数の分野において極めて重要な公式です。

余弦定理

三角形 ABC\mathrm{ABC} に対して,

a2=b2+c22bccosAb2=c2+a22cacosBc2=a2+b22abcosC a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\\ b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B\\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C

すなわち

cosA=b2+c2a22bccosB=c2+a2b22cacosC=a2+b2c22ab \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\\ \cos B = \dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}\\ \cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

が成立する。

→ 余弦定理とその証明

和積公式の覚え方と証明:覚えるべきか毎回導出すべきか?

三角関数の「和」を「積」に変換する公式です。

三角関数の和積公式

sinA+sinB=2sinA+B2cosAB2\sin A+\sin B=2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}

sinAsinB=2cosA+B2sinAB2\sin A-\sin B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}

cosA+cosB=2cosA+B2cosAB2\cos A+\cos B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}

cosAcosB=2sinA+B2sinAB2\cos A-\cos B=-2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}

和積公式は4つもあって覚えるのが大変です。丸暗記したほうがよいという人と毎回導出したほうがよいという人で意見が別れるところです。この記事では,「暗記する作戦」と「導出する作戦」それぞれについて詳しく説明します。

→ 和積公式の覚え方と証明:覚えるべきか毎回導出すべきか?

三角関数 (sin,cos,tan) の極限まとめ

三角関数の基本極限公式

limx0sinxx=1limx01cosxx2=12limx0tanxx=1 \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\\ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}\\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1

この記事では主要な三角関数の極限公式を紹介します。

三角関数の微分係数の計算などに応用されるので,考え方も含めてしっかり勉強していきましょう。

→ 三角関数 (sin,cos,tan) の極限まとめ

sin、cos、tan の意味

sin, cos, tan とは

(図のように θ\theta を含む直角三角形を描いたもとで)

sin, cos, tan とは

  • sinθ\sin \theta とは 対辺の長さ/斜辺の長さ のこと
  • cosθ\cos \theta とは 底辺の長さ/斜辺の長さ のこと
  • tanθ\tan \theta とは 対辺の長さ/底辺の長さ のこと

sin, cos, tan(三角比・三角関数)について基礎からわかりやすく説明します。

→ sin、cos、tan の意味

京大2023大問6とチェビシェフ多項式

京都大学理系数学 2023 大問6

pp33 以上の素数,θ\theta を実数とする。

  1. cos3θ\cos 3\thetacos4θ\cos 4 \thetacosθ\cos \theta の式として表せ。
  2. cosθ=1p\cos \theta = \dfrac{1}{p} のとき,θ=mnπ\theta = \dfrac{m}{n} \cdot \pi となるような正の整数 m,nm,n が存在するか否かを理由を付けて説明せよ。

京大入試の問題を解説します。背景となる「チェビシェフ多項式」を知っているとかなり有利な問題です。

→ 京大2023大問6とチェビシェフ多項式