分野: 空間図形


正多面体は,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体の5つのみ。

正多面体がこの5種類以外にないことの証明を解説します。入試や数オリで直接役立つことはありませんが,雑学として知っておくとよいでしょう。


半径が $R$ の球面上に内角の大きさが $A,\:B,\:C$ であるような三角形がある。この三角形の面積は, $S=R^2(A+B+C-\pi)$ である。
また,球面上の三角形の内角の和は $\pi$ より大きい。


四平方の定理

四平方の定理(四面体):
4つの面のうち3つが直角三角形である図のような三角錐において,
$|ABC|^2=|OAB|^2+|OBC|^2+|OCA|^2$

ただし,$|ABC|$ で三角形 $ABC$ の面積を表します。三平方の定理の三次元空間バージョンです!


四面体の重心:
四面体において,頂点と対面の重心を結ぶ四本の線分は一点で交わる。これを四面体の重心と言う。

四面体に重心が存在することの証明と応用例を解説します。


半径が $R$ の球面上の $n$ 角形について,その面積を $S$,内角を $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_n$ とおくと,
$S=R^2\{\displaystyle\sum_{i=1}^n\theta_i-(n-2)\pi\}$

この公式の証明,および美しい応用としてオイラーの多面体定理の証明を解説します。


カラテオドリの定理:
$A$ が $\mathbb{R}^n$ の部分集合 $S$ の凸包に含まれているとき,$S$ から $n+1$ 個の点をうまく選んでくれば,その $n+1$ 個の点の凸包に $A$ が含まれるようにできる。

基本的な用語の解説→ $n=2$ の場合で定理の意味をつかむ→定理の証明。