分野: 難問・良問


問題1−1:$100!$ の末尾の $0$ の個数を求めよ。

問題1−2:$x+\dfrac{1}{x^2}$ の $x>0$ の範囲での最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

問題1−3:不定積分 $\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx$ を求めよ。

問題1−4:三角形 $ABC$ 内に点 $P$ があり,$2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ が成立するとき,三角形 $PAB$ の面積は三角形 $PBC$ の面積の何倍になるか求めよ。

問題1−5:四角形 $ABCD$ において,$AB=5, BC=6, CD=7, DA=8, ∠ABC+∠ADC=180^{\circ}$ が成立する。四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求めよ。


問題2−1:三角形 $ABC$ において,$\tan A, \tan B, \tan C$ がいずれも整数となるとき $\tan C$ を求めよ。ただし,$\tan A\leq \tan B\leq\tan C$ とする。

問題2−2:任意の自然数 $n$ に対して,不等式$(1+\frac{1}{n})^n\leq(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$ が成立することを証明せよ。

問題2−3:三角形 $ABC$ において,$AB=5, BC=6, CA=7$ のとき三角形 $ABC$ の内心と外心の距離を求めよ。


2014年日本数学オリンピック本選第二問です:

問題

$2^a+3^b+1=6^c$ を満たす自然数$(a,b,c)$ の組を全て求めよ

解答と,解答に至るまでの考え方を詳しく解説します。


代数の面白い問題です:

問題

$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ を以下の5つの方程式を満たす実数とする。
$\displaystyle\sum_{p=1}^5\dfrac{a_p}{k^2+p}=\dfrac{1}{k^2}\: (k=1,2\cdots,5)$
このとき,$M=\dfrac{a_1}{37}+\dfrac{a_2}{38}+\dfrac{a_3}{39}+\dfrac{a_4}{40}+\dfrac{a_5}{41}$ の値を求めよ。


1984年国際数学オリンピックチェコスロバキア大会の第1問です。

問題

$x+y+z=1$ を満たす非負の実数 $x,y,z$ に対して以下の不等式を証明せよ:
$0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}$

不等式証明の重要なテクニックが凝縮された良問です。


問題

次の等式を満たす正の実数 $x$ を求めよ。
$x+\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2$

JJMO(日本ジュニア数学オリンピック)予選の中難易度の問題です。この問題の解説を通じてJJMO予選攻略のコツを見ていきます。