分野: 二次曲線


直線 $l$ と点 $P$ からの距離が等しい点の集合は放物線である。 $l$ をこの放物線の準線,$P$ を焦点と呼ぶ。

軌跡に関する基本的な知識であり,二次曲線の基本的な公式でもあります。
前半は教科書レベル,後半はこの公式のある種の一般化です。


二次曲線の分類

変数が二つの場合の二次曲線(楕円,双曲線,放物線)を四種類の特徴に注目して分類します。放物線はいろいろな意味で楕円と双曲線の境界にいることが分かります。


二次曲線の準円

二次曲線に対して,二本の直交する接線が引けるような点の軌跡は円である。これを二次曲線の準円と言う。

楕円の準円が最も有名ですが,放物線,双曲線に関しても同様の定理が成立します。


双曲線の漸近線:
パターン1.双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の漸近線は $y=\pm\dfrac{b}{a}x$
また,
パターン2.双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1$ の漸近線も $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

ただし,この記事を通して $a,b > 0$ とします。
双曲線の漸近線について,具体例,簡単な導出方法,きちんとした証明を解説します。


楕円の周長:長軸の長さが $2a$,短軸の長さが $2b$ である楕円:$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の周の長さは, $L=2\pi a\left(\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty} c_t^2\dfrac{\epsilon^{2t}}{1-2t}\right)$
ただし,$\epsilon$ は離心率で,$\epsilon^2=1-\dfrac{b^2}{a^2}$ を満たし,
$c_0=1$,$c_t=\dfrac{(2t-1)!!}{(2t)!!}=\dfrac{(2t-1)(2t-3)\cdots 1}{2t(2t-2)\cdots 2}\:(t\geq 1)$


二本の漸近線が直交するような双曲線を直角双曲線と言う。
二次曲線:$x^2-y^2=a$ $(a\neq 0)$ は直角双曲線である。
反比例:$xy=k$ も直角双曲線である。


1.原点を中心とする楕円は, $Ax^2+2Bxy+Cy^2=1$($A > 0, C > 0, AC-B^2 > 0$)という方程式で表せる。
2.逆に,上記の方程式は原点を中心とする楕円を表す。

斜めの楕円の方程式の一般形について,上の二つの定理を証明し,特に45度回転の場合について考察します。


定理:楕円の焦点から出た光は,反射してから反対側の焦点を通る。

楕円に関する有名な定理です。証明するのは意外と(計算が)大変ですが,座標計算のよい練習になります。