分野: 幾何不等式


有名な幾何不等式を2つ紹介します。Hadwiger-Finslerの不等式は数学オリンピックの練習問題にちょうどいい難易度なので,やる気のある人は証明を見る前に考えてみてください!


Klamkinの不等式:任意の実数 $x,\:y,\:z$ と非負整数 $n$,三角形の内角 $A,\:B,\:C$ に対して以下の不等式が成立する:
$x^2+y^2+z^2\geq 2(-1)^{n+1}(yz\cos nA+zx\cos nB+xy\cos nC)$
等号成立条件は,$\sin nA,\:\sin nB,\:\sin nC$ がいずれも $0$ でないもとで, $\dfrac{x}{\sin nA}=\dfrac{y}{\sin nB}=\dfrac{z}{\sin nC}$

証明が簡単な割に重要な結果を含んでいる素晴らしい不等式です。