分野: いろんな関数


二変数の二次関数
$f(x, y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$
に関する問題は入試や定期試験で頻出なので,解き方を3つ紹介します。


放物線における二本の接線

公式1:放物線 $y=ax^2+bx+c$ 上の二点 $A,B$ における接線の交点を $P$ とおくとき,$P$ の $x$ 座標は $A,B$ の $x$ 座標の平均となる
公式2:図において $S:T=2:1$ である


三次関数の対称性

三次関数のグラフに関して以下の性質が成り立つ
対称性1:(変曲点に関して)点対称である
対称性2:図において,$A,B,C,D,E$ は等間隔に並んでいる(4等分の法則)


一般に,3個の条件が与えられたら二次関数が1つに決まる
$n+1$ 個の条件が与えられたら $n$ 次関数が1つに定まる

二次関数の決定は超頻出問題です,今回はその背景を探ります。


シンプソンの公式:
$f(x)$ が三次以下の関数のとき,
$\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\dfrac{(b-a)}{6}\{f(a)+4f(\dfrac{a+b}{2})+f(b)\}$

三次関数の定積分を素早く計算(検算)することができます!


グラフの平行移動の公式:
$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ 平行移動させたグラフは $y-b=f(x-a)$ となる。

非常に簡単な公式ですが,応用範囲が広いのと導出方法が非常に重要なので紹介します。


等式制約付きの関数最大化,最小化問題に対するラグランジュの未定乗数法という手法の基礎的なことと簡単な例題を解説します。一部厳密ではありませんが,例題を通じて大雑把な理解を!


定理:$f(x)$ が区間内で二階微分可能なとき,
下に凸 $\iff$ 二階微分 $f”(x)\geq 0$
上に凸 $\iff$ 二階微分 $f”(x)\leq 0$

上に凸,下に凸な関数の性質と入試問題への応用例として京大の問題を解説します。


一次不等式で表される領域内で一次関数の値を最大化(または最小化)する問題を線形計画法(Linear Programming, LP)と言う。

領域内で関数の最大値,最小値を求める問題は入試でも頻出ですが,工学的な応用上も重要な問題です。


多くの四次関数には二重接線が存在する。二重接線は平方完成を用いて簡単に求めることができる。

二重接線とは,とある曲線に相異なる2つの点で接するような直線のことです。複接線と呼ばれることもあります。


曲線群 $f(x,y,t)=0$ の包絡線の方程式は $f(x,y,t)=0$ と $\dfrac{\partial}{\partial t}f(x,y,t)=0$ から $t$ を消去することで得られる。

包絡線(envelope)の考え方は高校数学でも役に立ちます!


関数 $f(x)$ に対して $g(p)=\displaystyle\max_{x}\{px-f(x)\}$ で定義される関数 $g(p)$ を $f(x)$ のルジャンドル変換と言う。

ルジャンドル変換について具体例,幾何学的な意味などを解説します。


二次関数 $y=ax^2+bx+c$ において,
軸の方程式は $x=-\dfrac{b}{2a}$
頂点の座標は $\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\right)$

非常に基本的な公式です。この公式の導出,例題,および軸の方程式のいくつかの解釈(覚え方)を解説します。


$\max f(x)$:$f(x)$ の最大値
$\mathop{\rm arg~max} f(x)$:$f(x)$ を最大にする $x$ の集合
$\min f(x)$:$f(x)$ の最小値
$\mathop{\rm arg~min} f(x)$:$f(x)$ を最小にする $x$ の集合

maxとargmax,minとargminを混同する人が多いので違いをきちんと理解しておきましょう。


無理関数 $y=\pm\sqrt{ax+b}+c$ のグラフは$(-\dfrac{b}{a},c)$ から(定義域,値域を見て)適切な向きに,最初は一瞬鉛直な方向に進んで徐々に変化がなだらかになるように書けばよい。

無理関数のグラフを素早く書く方法について解説します。慣れれば10秒くらいでグラフが書けます。


1: $\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$
2: $\sinh (x-y)=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y$
3: $\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$
4: $\cosh (x-y)=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y$
5: $\tanh (x+y)=\dfrac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}$
6: $\tanh (x-y)=\dfrac{\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}$


$n$ 次元実数ベクトル $x=(x_1,\cdots,x_n)$ を受け取って $n$ 次元実数ベクトル $y=(y_1\cdots,y_n)$
(ただし,$y_i=\dfrac{e^{x_i}}{e^{x_1}+e^{x_2}+\cdots +e^{x_n}}$

を返す関数をソフトマックス関数と言う。

ニューラルネットワークなどに応用がある重要な関数「ソフトマックス関数」についてです。


逆双曲線関数:
$y=\sinh x$ の逆関数は,$y=\log(x+\sqrt{x^2+1})$
$y=\cosh x\:(x\geq 0)$ の逆関数は,$y=\log(x+\sqrt{x^2-1})$ $(1\leq x)$
$y=\tanh x$ の逆関数は,$y=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+x}{1-x}$ $(-1< x<1)$


$f(x)=\begin{cases}x&x\geq 0\\0&x< 0\end{cases}$
で表される関数をランプ関数と言う。

ランプ関数は、正規化線形関数、Rectified Linear Function などとも呼ばれます(名前は仰々しいですが、非常に単純な関数です)。


二次元極座標平面上で
$r=ae^{b\theta}$
と表される曲線を対数螺旋(または等角螺旋、ベルヌーイの螺旋)と言う。

対数螺旋を題材に,極座標において面積,曲線の長さを求める方法を復習します。