分野: 積分


三角関数と指数関数の積の積分は部分積分を2回行って求めるのが定石ですが,計算量も多くミスしやすいので,公式として覚えておくとスピードアップや検算に役立ちます:

$\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C$
$\displaystyle\int e^{ax}\sin bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)+C$


$m, n$ が $0$ 以上の整数のとき,以下のような積分公式が成立する(ベータ関数の積分公式):

(i) 第一種オイラー積分
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$

(ii) 特に,$\alpha=0, \beta=1$ とすると,
$\displaystyle\int_0^1 x^m(1-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}$


公式1:$\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\log(x+\sqrt{x^2+a^2})$
公式2:$\displaystyle\int \sqrt{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2}))$

今回はマニアックな不定積分の公式です。 $\sinh$(ハイパボリックサイン)の逆関数のような形が出現しています。積分定数は省略していますが,答案では忘れないでください!


極方程式と面積

$r(\theta)$ が連続関数のとき,極方程式 $r=r(\theta)$ で表される曲線と $\theta=\alpha, \beta$ で囲まれる部分の面積は,
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}r^2(\theta)d\theta$


覚えておくべき積分公式をただひたすら一覧形式で列挙しました。いずれも積分後の式を微分することで確かめることが出来ます。


バウムクーヘン分割の図

バウムクーヘン分割:
連続関数 $y=f(x)$,$x$ 軸,$x=\alpha,x=\beta\:$(ただし $0\leq \alpha <\beta$)で囲まれた図形を $y$ 軸の回りに回転させてできる立体の体積 $V$ は,
$V=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}2\pi x|f(x)|dx$

難関大受験者は知っておくべき有名な求積テクニックです。


パップスギュルダンの定理:
面積が $S$ である平面図形 $A$ がある。 $A$ を直線 $l$ の回りに回転させてできる回転体の体積 $V$ は, $V=2\pi g_xS=$(重心の移動距離) $\times S$
($g_x$ は重心と回転軸の距離)
ただし,$A$ を回転させる過程で $A$ 自身とは重ならないとする。


傘型分割

傘型分割:
$y\leq mx,\:y\geq f(x),\\\:a\leq x\leq b$
が定める図形を $l:y=mx$ の回りに回転させてできる図形の体積 $V$ は,
$V=\pi\cos\theta\int_a^b(mx-f(x))^2dx$
ただし,$\theta$ は $l$ と $x$ 軸のなす角で,$\tan\theta=m$


ガウスグリーンの定理

ガウスグリーンの定理:
$x=x(t),\:y=y(t)$ と媒介変数表示された曲線 $C$ がある。 $\alpha\leq t\leq \beta$ の範囲で $t$ の増加とともに$(x(t),y(t))$ が原点中心に反時計回りに動くとき,動径が掃いた部分の面積は, $S=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}(xy’-yx’)dt$


弧長積分1:$f$,$g$ が連続かつ微分可能で $f’$,$g’$も連続とする。
$x=f(t), y=g(t)$ と媒介変数表示された曲線 $C$ の $\alpha\leq t\leq \beta$ の部分の長さは, $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}dt$

弧長積分2:$f$ は連続かつ微分可能で $f’$も連続とする。
$y=f(x)$ と媒介変数表示された曲線 $C$ の $a\leq x\leq b$ の部分の長さは, $\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx$


$n$ 次元単位超球の体積は, $V_n=\dfrac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$

$\Gamma(x)$ はガンマ関数と呼ばれるものです。 $x$ が整数のときには $\Gamma(x)=(x-1)!$ です。

この記事の目標は $V_n$ の導出です。ガンマ関数とか重積分をできるだけ使わずに高校数学で(ほとんど)理解できるようにしています。


置換積分を行うときには変数を置き換えるだけでなく,微分をかけるのを忘れないように。定積分の場合は積分区間の変更も必要。

置換積分(不定積分)の例題→公式の証明
置換積分(定積分)の例題→公式の証明
の順に解説します。


対数関数の不定積分: $\displaystyle\int \log xdx=x\log x-x+C$

対数関数の積分公式の証明および発展形について解説します。数学が得意な人にとっては前半は簡単かもしれません,発展形2がオススメです。


$\displaystyle\int \tan xdx=-\log |\cos x|+C$
$\displaystyle\int \tan^2 xdx=\tan x-x+C$
$\displaystyle\int \tan^n xdx=\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int\tan^{n-2}xdx$

$\tan x,\tan^2x,\tan^n x$ の不定積分についてそれぞれ解説します。いずれもタンジェント特有の技を使います。なお,$C$ は積分定数です。


三角関数の有理式の積分は $\tan\dfrac{x}{2}=t$ と置換することによって必ず計算できる。

多項式÷多項式の形の式を有理式(有理関数)と言います。 $\sin x, \cos x$, ($\tan x$)の有理式の積分は機械的な計算でできます!


$0$ 以上の整数 $n$ と,$\displaystyle\sum_{k=1}^n|a_k|\leq 1$ を満たす実数 $a_1,\cdots, a_n$ に対して,
$\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^n\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)dx=\dfrac{\pi}{2}$


微分すると $f(x)$ になるような関数 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数と言う。

前半は簡単な具体例です。後半は原始関数が初等関数で表せない具体例を紹介します。


回転体の体積

$y=f(x)$,$x=a$,$x=b$,$x$ 軸で囲まれた領域を $x$ 軸のまわりに回転させてできる図形の体積は,
$V=\displaystyle\int_{a}^b\pi \{f(x)\}^2dx$

例題,証明,および回転体の体積を求める他の公式について。


$\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}dx=\dfrac{\pi^4}{15}$

Planck の法則から Stefan–Boltzmann 定数を計算するときに登場する広義積分です[1]。