分野: 方程式,恒等式


定期試験や入試で出題される3次以上の方程式は以下の3つのタイプに分けることができる。

  • タイプ1:そのまま因数分解して解く方程式
  • タイプ2:相反方程式
  • タイプ3:複二次式(複 $n$ 次式)

ラグランジュの補間公式:
$x$ 座標が相異なる $n+1$ 点$(x_1,y_1), (x_2,y_2),\cdots,(x_{n+1},y_{n+1})$ を通る $n$ 次以下の多項式 $P(x)$ が1つ定まり,以下の式で表される:
$P(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}y_i\dfrac{f_i(x)}{f_i(x_i)}$
ただし,$f_i(x)=\displaystyle\prod_{k\neq i}(x-x_k)$


定理:整数係数多項式$=0$ の形の方程式が有理数解 $\dfrac{q}{p}$ を持つなら,
$p$ は最高次の係数の約数であり,$q$ は定数項の約数である。


少し長い定理ですが,高校数学の範囲でもしばしば活躍する定理です!

アイゼンシュタイン(Eisenstein)の既約判定定理:
ある素数 $p$ が存在して以下の3つの条件を満たすとき,整数係数多項式 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ を(整数係数の範囲でできるとこまで)因数分解すると必ず $k$ 次式以上の因数がでてくる。

  • $a_0$ は $p$ の倍数だが $p^2$ の倍数でない
  • $a_1$ から $a_{k-1}$ まで全て $p$ の倍数
  • $a_k$ が $p$ の倍数でない

特に,$k=n$ の場合に3つの条件を満たす式は既約(それ以上因数分解できない)です。


JMOの予選をはじめ,数学オリンピックでは(連立)方程式を解く問題がたまに出題されます。

普通の連立方程式と違い,機械的に解くことはできません。いずれも係数の特殊性を利用して解くので,問題の構造を見出す必要があります。


デカルトの符号法則:
降べきの順に整理された多項式 $f(x)$ の係数の符号変化回数を $k$ とする。
このとき,$f(x)=0$ の実数解のうち正のものの個数は,重複度込みで $k,\:k-2,\:k-4,\cdots,$のいずれか。


二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha,\:\beta$ とおくと,
$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\:\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$

教科書レベルの公式ですが,非常に重要な公式なので証明と使い方を整理しておきます。とりあえず二次方程式の場合。


共役無理数:$a,b$ を有理数,$k$ を平方因子を持たない(同じ素数で2回以上割り切れない)$2$ 以上の整数とする。このとき,
$a+b\sqrt{k}$ と $a-b\sqrt{k}$ は互いに共役であるという。


定数分離:
$f(x,a)=0$ を $g(x)=a$ という形に変形すると見通しがよくなることがある。

入試数学の基本的なテクニック「定数分離」について,例題を通じて解説します。