分野: 代数,情報・暗号理論


確率 $p ( > 0)$ で起こる事象を観測したときに得られる(自己)情報量を$-\log_2 p$ bitと定義する。

情報理論の最も基本的な概念である情報量(自己エントロピー)について解説します。


集合 $G$ とその集合上の二項演算 $f$ の組がとある条件を満たすときに,そのペア$(G,f)$ を群と言う。

抽象代数学の最も基本的な概念の一つで,数学のいろいろなところに登場する「群」について。
まずは二項演算について説明し,群の定義,具体例へと進んでいきます。


公開鍵暗号方式の具体的なアルゴリズムであるRSA暗号の仕組みと安全性について解説します。数学がまあまあ得意な高校生なら理解できるレベルの内容です。


多項式補間を使うことで「故障に強い」かつ「漏洩に強い」秘密情報の保管が実現できる。

$(k,n)$ しきい値法の意味,嬉しさについて説明し,それを具体的に実現する方法としてシャミアの秘密分散法を解説します。


対数和不等式(Log sum inequality)
$a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n$ を正の数とするとき,
$\sum a_k\log\dfrac{a_k}{b_k}\geq(\sum a_k)\log\dfrac{\sum a_k}{\sum b_k}$

主に情報理論で活躍する不等式です。この記事では $\displaystyle\sum_{k=1}^n$ のことを $\sum$ と書きます。


任意の実数 $a,b\:(a<b)$ に対して,
$a< q< b$ を満たす有理数 $q$ が存在する(有理数の稠密性)。
$a< x< b$ を満たす無理数 $x$ が存在する(無理数の稠密性)。


数学の様々な場面で登場する重要な概念「同値関係」について解説します。同値関係とは,大雑把には「仲間であるという関係」です。前半は定義なので少し堅苦しいですが,後半はいろいろな例が登場します!