分野: 式の計算


教科書に載っているものから応用的なものまで,重要な乗法公式を一覧にしてみました。この19個の乗法公式を知っていれば式の展開への抵抗は無くなるでしょう。あなたはどのレベルまで知っていますか?


四次式の因数分解(または方程式を解く)に関する問題は以下の5パターンに分けることができます。

パターン1ーA:普通に因数定理が使える場合
パターン1ーB:二次式×二次式に分解できる場合
パターン2:相反方程式
パターン3:複二次式
パターン4:方程式が解けない場合


1979年国際数学オリンピック第1問です:

$p$ と $q$ を自然数として,
$\dfrac{p}{q}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots-\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}$
が成立するとき $p$ は $1979$ の倍数となることを証明せよ


組立除法:多項式 $f(x)$ を一次式$(x-p)$ で割った商と余りを求めるのは組立除法を用いると非常に速い。

組立除法のやり方,原理(正しさの証明),例題を解説します。


整式の除法:任意の多項式 $A(x),B(x)$ に対して,

  • $A(x)=B(x)Q(x)+R(x)$
  • $\deg R(x) < \deg B(x)$

を満たす多項式 $Q(x)$,$R(x)$ がただ一つ定まる。 $Q$ を商,$R$ を余りと言う。

注:$x$ についての多項式 $R(x)$ の次数を $\deg R(x)$ などと書きます。


ヘビサイドの展開定理について解説します。前半は部分分数分解の一般形,係数の求め方(頑張れば高校生でも理解可能),後半は逆ラプラス変換(大学数学)の話です。


与えられた多項式を「○○の範囲で因数分解する」とは,○○係数の多項式の積に(できるだけ細かく)分解するという意味。
(○○には複素数,整数,有理数,実数などが入る)

因数分解の問題で特に指示がない場合は「整数の範囲で」因数分解すればOKですが,この記事では複素数の範囲での因数分解について考えます。


  • 階乗:$n!$ は $1$ から $n$ までの整数を全てかけあわせたもの
  • 二重階乗:$n!!$ は一つおきにかけあわせたもの
  • 超階乗:$n\$$ は $n!$ の肩に $n!$ を $n!-1$ 個乗せたもの