2015/04/20

カージオイド曲線のグラフ,面積,長さ

分野: いろんな関数  レベル: 最難関大学

極方程式 $r=a(1+\cos\theta)$ で表される曲線をカージオイド曲線と言う。

カージオイド曲線のいろいろな表現

カージオイドは極方程式で表すのが最も簡潔ですが,別の表現もあります。

・媒介変数表示
$r$ を消去することによって媒介変数 $\theta$ を用いて表現することができます。
$x=r\cos\theta$ より, $x=a(1+\cos\theta)\cos\theta$
$y=r\sin\theta$ より, $y=a(1+\cos\theta)\sin\theta$
こちらの形で出題されることもあります。

・ $xy$ 座標での表示
$r$ と $\theta$ を両方消去することもできます。極方程式の両辺に $r$ をかけると $r^2=ar+ar\cos\theta$ より $ar=x^2+y^2-ax$
この両辺を二乗すると $a^2(x^2+y^2)=(x^2+y^2-ax)^2$
もう少し整理することはできますが,あまり綺麗にはならないので $xy$ 座標表示は覚える必要ありません。

カージオイドのグラフ

極方程式 $r=a(1+\cos\theta)$ からカージオイドのグラフの特徴がつかめます。

  • $(r,\theta)=(2a,0),(a,\frac{\pi}{2}),(0,\pi)$ を通る
  • $0\leq \theta\leq \pi$ では $\theta$ の増加に伴い $r$ は減少
  • $(r,\theta)$ を通るなら$(r,-\theta)$ も通るので $x$ 軸に関して対称
カージオイドのグラフ

なお,極値などを求めてグラフをもっときちんと書くには媒介変数表示&微分,増減表が必要です。
($x’=-2a\sin\frac{3}{2}\theta\cos\frac{\theta}{2}$,$y’=2a\cos\frac{3}{2}\theta\cos\frac{\theta}{2}$ となる)

グラフの形はハート型になるのでカージオイドは心臓形とも呼ばれます。

カージオイドの面積

カージオイド曲線 $r=a(1+\cos\theta)$ で囲まれた図形の面積は $S=\dfrac{3}{2}\pi a^2$

媒介変数表示を用いて $xy$ 座標で計算することもできますが,極方程式のまま計算するのが楽です。
→極方程式の面積公式と例題

証明

極座標の面積公式より
$S=\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}r^2d\theta\\
=\dfrac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2d\theta\\
=\dfrac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}(1+2\cos\theta+\frac{1+\cos 2\theta}{2})d\theta$
ここで,$\cos\theta,\cos 2\theta$ は一周期ぶん積分すると $0$ になるので
$S=\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot 2\pi=\dfrac{3}{2}\pi a^2$ を得る。

カージオイド曲線の長さ

$r=a(1+\cos\theta)\:(0\leq\theta\leq 2\pi)$ の長さは, $l=8a$

こちらも極座標のまま計算するのが楽です。極座標の弧長積分公式は習いませんが,$xy$ 座標の場合の考え方(→弧長積分の公式の証明と例題)と同様にして積分公式が得られます。
$(dl)^2=(rd\theta)^2+(dr)^2$
$\to l=\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2}d\theta$

証明

上半分の長さの2倍と考える:
$l=2\int_0^{\pi}\sqrt{r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2}d\theta\\
=2\int_0^{\pi}\sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta}d\theta\\
=2\int_0^{\pi}\sqrt{2a^2+2a^2\cos\theta}d\theta\\
=2a\int_0^{\pi}\sqrt{4\cos^2\frac{\theta}{2}}d\theta\\
=4a\int_0^{\pi}\cos\frac{\theta}{2}d\theta\\
=8a$

ちなみに,カージオイドという名前のペン回しの技があります。
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