2016/01/11

一次分数型の漸化式の解法と例題

分野: 数列  レベル: 最難関大学

$a_{n+1}=\dfrac{Aa_{n}+B}{Ca_n+D}\:(C\neq 0)$ という漸化式で表される数列の一般項を求める問題について考えます。

$B=0$ の場合の解法

$B=0$ の場合は簡単です。

$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{Ca_n+D}{Aa_n}=\dfrac{C}{A}+\dfrac{D}{Aa_n}$
となるので($\frac{1}{a_n}=b_n$ とおくことで)
$b_{n+1}=pb_n+q$ 型の漸化式に帰着することができます。

例題

$a_1=1$,$a_{n+1}=\dfrac{2a_n}{a_n+4}$
で表される数列の一般項を求めよ。

解答

$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{a_n}$ より,$\dfrac{1}{a_n}=b_n$ とおくと,
(帰納的に $a_n> 0$ が分かるので $a_n\neq 0$)
$b_{n+1}=2b_n+\dfrac{1}{2}$
特性方程式 $\alpha=2\alpha+\dfrac{1}{2}$ の解は $\alpha=-\dfrac{1}{2}$ であり,
$b_{n+1}+\dfrac{1}{2}=2\left(b_n+\dfrac{1}{2}\right)$ と変形できる。
よって,数列 $\left\{b_n+\dfrac{1}{2}\right\}$ は初項が $1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$,公比 $2$ の等比数列であるので
$b_n+\dfrac{1}{2}=3\cdot 2^{n-2}$

よって,$a_n=\dfrac{1}{3\cdot 2^{n-2}-\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{3\cdot 2^{n-1}-1}$

$B\neq 0$ の場合の解法

$B\neq 0$ の場合は平行移動することによって $B=0$ の場合に帰着させます。

具体的には,特性方程式 $x=\dfrac{Ax+B}{Cx+D}$ の解の(好きな方)1つを $\alpha$ として数列 $\{a_n-\alpha\}$ を考えます。

例題2

$a_1=4$,$a_{n+1}=\dfrac{5a_n-3}{a_n+1}$
で表される数列の一般項を求めよ。

解答

まずは方程式 $x=\dfrac{5x-3}{x+1}$ を解く。
$x(x+1)=5x-3$
$x^2-4x+3=0$
$x=1,3$
$\alpha=3$ としてみる。 $b_n=a_n-3$ とおくと,
$b_{n+1}=a_{n+1}-3\\
=\dfrac{5a_n-3}{a_n+1}-3\\
=\dfrac{2a_n-6}{a_n+1}\\
=\dfrac{2b_n}{b_n+4}$
となる。また,$b_1=1$ であるので,例題1の結果より,
$b_n=\dfrac{2}{3\cdot 2^{n-1}-1}$
よって,$a_n=b_n+3=\dfrac{9\cdot 2^{n-1}-1}{3\cdot 2^{n-1}-1}$

補足(なぜこの方法でうまくいくのか)

$\alpha=\dfrac{A\alpha+B}{C\alpha+D}$ のとき,
$(a_{n+1}-\alpha)=\dfrac{(AD-BC)(a_n-\alpha)}{C(C\alpha+D)(a_n-\alpha)+(C\alpha+D)^2}$
となり(簡単な計算で分かる),$B=0$ の場合に帰着できることが分かります。

別の方法

特性方程式 $x=\dfrac{Ax+B}{Cx+D}$ に異なる2つの解 $\alpha,\beta$ が存在するとき,数列 $\left\{\dfrac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}\right\}$ は等比数列となる(*)ということを使ってもOKです。

(*)の証明の概略

先ほどの補足の式を使うと,
$\dfrac{a_{n+1}-\alpha}{a_{n+1}-\beta}=\dfrac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}\cdot\dfrac{C\beta+D}{C\alpha+D}$
が分かる。

ただし,この方法は重解のときは使えません。

例題2(再掲)

$a_1=4$,$a_{n+1}=\dfrac{5a_n-3}{a_n+1}$
で表される数列の一般項を求めよ。

解答

$x=\dfrac{5x-3}{x+1}$ の解は $x=1,3$ であったので,$b_n=\dfrac{a_n-3}{a_n-1}$ とおくと,
$b_{n+1}=\dfrac{\frac{5a_n-3}{a_n+1}-3}{\frac{5a_n-3}{a_n+1}-1}\\
=\dfrac{2a_n-6}{4a_n-4}\\
=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a_n-3}{a_n-1}\\
=\dfrac{1}{2}b_n$
よって,$b_1=\dfrac{1}{3}$ より $b_n=\dfrac{1}{3\cdot 2^{n-1}}$

$\dfrac{a_n-3}{a_n-1}=\dfrac{1}{3\cdot 2^{n-1}}$ を $a_n$ について解くと,$a_n=\dfrac{9\cdot 2^{n-1}-1}{3\cdot 2^{n-1}-1}$

平行移動して逆数を取ってもう一度平行移動すると単なる等比数列になるということです。

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