分数不等式のおすすめの解き方と例題

• $x <1$ または $2 <x$ のとき
  $(x-1)(x-2) > 0$ であるので，$(x-1)(x-2)$ を両辺にかけても不等号の向きは変わらない。よって $$2(x-1)(x-2)-(x-4)(x-1)\geqq 6(x-2)$$ が成立する。これを整理すると $$x^2-7x+12\geqq 0$$ である。 $$(x-3)(x-4)\geqq 0$$ これを満たす $x$ の範囲は $x\leqq 3,4\leqq x$ で，これと条件の共通部分をとると $x < 1, 2 < x \leqq 3, 4\leqq x$ となる。

• $1 < x < 2\cdots(2)$ のとき
  $(x-1)(x-2) < 0$ に注意して，$(x-1)(x-2)$ を両辺にかけると $$2(x-1)(x-2)-(x-4)(x-1)\leqq 6(x-2)$$ となる。さきほどと同様に二次不等式を解くと $$(x-3)(x-4)\leqq 0$$ であるため，$3\leqq x\leqq 4$ となる。これと条件の共通部分はない。

以上より答えは $x < 1, 2 < x \leqq 3, 4\leqq x$ である。

$2-\dfrac{x-4}{x-2}\geqq\dfrac{6}{x-1}$ という分数不等式を，同値変形していく。

移項： $2-\dfrac{x-4}{x-2}-\dfrac{6}{x-1}\geqq 0$

通分： $\dfrac{2(x-1)(x-2)-(x-4)(x-1)-6(x-2)}{(x-1)(x-2)}\geqq 0$

分子を展開： $\dfrac{2x^2-6x+4-x^2+5x-4-6x+12}{(x-1)(x-2)}\geqq 0$

分子を整理： $\dfrac{x^2-7x+12}{(x-1)(x-2)}\geqq 0$

分子を因数分解： $\dfrac{(x-3)(x-4)}{(x-1)(x-2)}\geqq 0$

よって，求める範囲は $x <1, 2 <x \leqq 3, 4 \leqq x$