2014/02/18

ブレートシュナイダーの公式

分野: 平面図形  レベル: マニアック

一般的な四角形の面積を求める公式(ブラーマグプタの公式の一般化)。

ブレートシュナイダーの公式:
四角形 $ABCD$ において,$AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$, $∠BAD+∠BCD=θ$とおくと,
四角形の $ABCD$ の面積 $S$ は,
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2(\frac{\theta}{2})}$
ただし,$s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$ とおいた。

四角形が円に内接する場合 $\theta=180^\circ$ より,ブレートシュナイダーの公式はブラーマグプタの公式と一致します。

この公式は美しいですが,$\cos\dfrac{\theta}{2}$ が簡単に求まる場合が少ないので残念ながらあまり実用的な公式ではないです,観賞用ですね。数学オリンピックの幾何の問題で,この公式を知っていると見通しがよくなるかもしれません。

ブレートシュタイナーの公式の証明は,ブラーマグプタの公式の証明と同様な手法でできますが,計算が煩雑なのでここでは省略します。
証明の詳細を知りたい人はwikipediaを参照してください。

実用性はあんまりないかもですが「ブレートシュナイダーの公式」を知ってるだけでかっこいい気がします。

Tag: 面積を求める公式まとめ

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