2015/05/10

微分公式一覧(基礎から発展まで)

分野: 極限,微分  レベル: 基本公式

覚えておくべき微分の公式を整理しました。

なお,積分については積分公式一覧をどうぞ。

初等関数の微分公式

・$(x^{\alpha})’=\alpha x^{\alpha-1}$($\alpha$ は任意の実数)
 →べき関数(y=x^n)の微分公式の3通りの証明
特に,$\alpha=\dfrac{1}{2}$ のとき,$(\sqrt{x})’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

・$(\sin x)’=\cos x$
 →sinxの微分公式の3通りの証明

・$(\cos x)’=-\sin x$
 →cosxの微分公式のいろいろな証明

  • $(e^x)’=e^x$
  • $(\log x)’=\dfrac{1}{x}$
  • $(a^x)’=a^x\log a$
  • $(\tan x)’=\dfrac{1}{\cos^2x}$

・$(\cot x)’=\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)’=-\dfrac{1}{\sin^2x}$
 →tanxと1/tanxの微分公式のいろいろな証明

基本的な演算など

証明などの詳細はリンク先を参照して下さい。

・線形性:$(af(x)+bg(x))’=af'(x)+bg'(x)$

・積の微分:$(fg)’=f’g+fg’$
 →積の微分公式とその証明の味わい

・商の微分(分数の微分):$\left(\dfrac{g}{f}\right)’=\dfrac{g’f-f’g}{f^2}$,
特に $g=1$ のとき,$\left(\dfrac{1}{f}\right)’=-\dfrac{f’}{f^2}$
 →商の微分公式の証明と例題

・合成関数の微分:$\{f(g(x))\}’=f'(g(x))g'(x)$
 →合成関数の微分公式と例題7問

・対数微分法(公式ではありませんが)
 →対数微分法のやり方と例題

発展的な微分公式

ここまでの公式は超重要で必須ですが,以下は暗記必須ではありません。ただし,いずれも導出できるようになっておきましょう。

  • $(\mathrm{Arcsin} x)’=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • $(\mathrm{Arccos} x)’=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

・$(\mathrm{Arctan} x)’=\dfrac{1}{1+x^2}$
 →逆三角関数の重要な性質まとめ

  • $(\sinh x)’=\cosh x$
  • $(\cosh x)’=\sinh x$

・$(\tanh x)’=1-\tanh^2 x$
 →双曲線関数にまつわる重要な公式まとめ

・ $\{\log (x+\sqrt{x^2+a})\}’=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a}}$


初等関数(三角関数や指数関数など)の四則演算や合成で表現できる関数は,基本的な公式を組み合わせるだけで必ず微分できます(一方,不定積分は必ずしも初等関数で表せるとは限らない)。

微分計算は素直。積分計算はエキサイティング。
分野: 極限,微分  レベル: 基本公式