2014/10/12

ベルヌーイの不等式

分野: 不等式  レベル: 数学オリンピック

ベルヌーイの不等式:
任意の正の整数 $n$ と$-1$ より大きい実数 $x$ に対して,
$(1+x)^n\geq 1+nx$

ベルヌーイの不等式のいろいろなタイプ

いずれもベルヌーイの不等式と呼ばれます。


1:$x$ たちが異なるバージョン
任意の正の整数 $n$ と$-1$ より大きく全て符号が等しい実数 $x_1,\:x_2,\cdots,x_n$ に対して,
$\displaystyle\prod_{i=1}^n(1+x_i)\geq 1+\sum_{i=1}^nx_i$

この式で $x_1=x_2=\cdots =x_n=x$ とすると冒頭のベルヌーイの不等式になります。


2:$n$ を実数 $\alpha$ に拡張したバージョン
実数 $\alpha$ と$-1$ より大きい実数 $x$ に対して,
$(1+x)^{\alpha}\geq 1+\alpha x\:\:(\alpha\leq 0,\:1\leq \alpha)$
$(1+x)^{\alpha}\leq 1+\alpha x\:\:(0\leq \alpha \leq 1)$

高校物理でよく登場する近似式$(1+x)^{\alpha}\simeq 1+\alpha x$ に似ています。
覚えるならこのバージョンがオススメです。

ベルヌーイの不等式1の証明

ベルヌーイの不等式バージョン1は数学的帰納法で証明できます。

1の証明

$n=1$ のとき両辺共に $1+x_i$ となるので成立。
$n=k-1$ のとき,
$\displaystyle\prod_{i=1}^{k-1}(1+x_i)\geq 1+\sum_{i=1}^{k-1}x_i$
と仮定すると,両辺に$(1+x_k)$ をかけることにより,
$\displaystyle\prod_{i=1}^{k}(1+x_i)\geq (1+\sum_{i=1}^{k-1}x_i)(1+x_k)\\
=\displaystyle 1+\sum_{i=1}^{k}x_k+x_k(\sum_{i=1}^{k-1}x_i)\\
\geq 1+\displaystyle\sum_{i=1}^{k}x_k$
(ただし,最後の不等号は $x_i$ たちが全て同符号であることによる)
となり $n=k$ のときも成立する。

ベルヌーイの不等式2の証明

ベルヌーイの不等式バージョン2は微分で証明できます。

2の証明

$f(x)=(1+x)^{\alpha}-1-\alpha x$
とおく。
ここで,$f'(x)=\alpha((1+x)^{\alpha-1}-1)$
$f(0)=0$ に注意して $f'(x)$ の符号を考える。
例えば $\alpha \geq 1$ のとき,
$(1+x)^{\alpha-1} – 1$ の符号は,
$x > 0$ のとき正,$x <0$ のとき負となるので,$f(x)\geq 0$ が分かる。
他の場合も同様。

ベルヌーイの不等式の応用例

ベルヌーイの不等式を用いるIMO Shortlist 2006の問題です。かなりの難問です。

問題

$a,\:b,\:c$ が三角形の三辺の長さであるとき以下の不等式を証明せよ:
$\displaystyle\sum_{\mathrm{cyc}}\dfrac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}\leq 3$

ただし,$\displaystyle\sum_{\mathrm{cyc}}f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)$ です。

方針:分母が邪魔なので変数変換→ベルヌーイの不等式→Schurの不等式,という三連発です。

解答

分母を払うために,
$\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}=x,\:\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}=y,\:\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}=z$ と変数変換する。
逆変換は $a=(\dfrac{y+z}{2})^2$ などとなり,これを用いて頑張って計算すると,
$\dfrac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}=\sqrt{\dfrac{x^2+xy+zx-yz}{2x^2}}$
ルートを外したいので $\alpha=\dfrac{1}{2}$ のベルヌーイの不等式を用いる。そのためにルートの中身を$(1+X)$ という形にする:
$\sqrt{\dfrac{x^2+xy+zx-yz}{2x^2}}=\sqrt{1-\dfrac{(x-y)(x-z)}{2x^2}}\\\leq 1-\dfrac{(x-y)(x-z)}{4x^2}$
これを用いて左辺を整理すると,$r=-2$ の場合の(一般化された)Schurの不等式となる:
$\displaystyle\sum_{\mathrm{cyc}}\dfrac{(x-y)(x-z)}{x^2}\geq 0$

久しぶりの新しい不等式です!

Tag: 各地の数オリの過去問

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