2014/09/25

バウムクーヘン分割の例と証明

分野: 積分  レベル: 最難関大学

バウムクーヘン分割の図

バウムクーヘン分割:
連続関数 $y=f(x)$,$x$ 軸,$x=\alpha,x=\beta\:$(ただし $0\leq \alpha <\beta$)で囲まれた図形を $y$ 軸の回りに回転させてできる立体の体積 $V$ は,
$V=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}2\pi x|f(x)|dx$

難関大受験者は知っておくべき有名な求積テクニックです。

バウムクーヘン分割に関して

バウムクーヘン
  • $y$ 軸を対称軸とする回転体の体積を求めるのに活躍する公式です。
  • 回転体の体積を求めるときには,「回転させた後に対称軸に対して垂直な面で切って断面積を求めて積分」するのが一般的ですが,「回転軸と平行な線で切った後に回転させて積分する」とバウムクーヘン分割の公式が得られます。
  • 切ったあとで回転させることで立体がバウムクーヘンっぽくなるのでバウムクーヘン分割と呼ばれています。
  • バウムクーヘン分割の公式を証明なしで使ってよいかはきわどいので,記述式の試験で使うときには,以下で述べる「簡単な説明」に相当することを表記した上で使うとよいでしょう。

バウムクーヘン分割にまつわる入試問題

1989年東大理系第5問です。

問題

$f(x)=\pi x^2\sin \pi x^2$ とする。 $y=f(x)$ のグラフの $0\leq x\leq 1$ の部分と $x$ 軸で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに回転させてできる図形の体積 $V$ は $V=2\pi\int_0^{1}xf(x)dx$ で与えられることを示し,この値を求めよ。

前半はバウムクーヘン分割の証明1(後述)を書けば十分でしょう。

後半は積分するのみです:

$V=\displaystyle\int_0^12\pi^2x^3\sin\pi x^2dx$
$\pi x^2=y$ と置換すると,$\dfrac{dy}{dx}=2\pi x$ より,
$V=\displaystyle\int_0^{\pi}y\sin ydy$
これを部分積分すると,
$V=\pi$ となる。

バウムクーヘン分割公式の証明1

まずは,厳密ではありませんがイメージをつかむために「簡単な説明」です。以下では $f(x)\geq 0$ の場合を解説します(一般の場合も本質的には同じ)。

バウムクーヘン分割

題意の図形のうち,$x=t,x=t+\Delta t$ で囲まれた部分を $y$ 軸の回りに回転させた立体を考える。 $\Delta t$ が小さいとき,この立体は,「半径 $t+\Delta t$ で高さ $f(t)$ の円柱」から「半径 $t$ で高さ $f(t)$ の円柱」を除いたものと近似できる。
よって,その微小体積は $f(t)\pi(t+\Delta t)^2-f(t)\pi t^2$ となる。 $\Delta t$ が十分小さいとき $\Delta t^2$ の項は無視できるので,微小体積は $2\pi tf(t)\Delta t$ となる。これを積分するとバウムクーヘン分割の公式を得る。

上記の議論を厳密に証明するためには,はさみうちの原理を用いてなぜ定積分で面積が求まるのかで解説した方法を行う必要がありますが,上記の「簡単な説明」を理解しておけば十分でしょう。

バウムクーヘン分割公式の証明2

$f(x)$ が単調な関数のときには置換積分と部分積分を用いることでバウムクーヘン分割が導出できます!($f(x)$ が単調でない場合に関しては単調な区間で区切って足し合わせればよい)

バウムクーヘン分割を用いずにセオリー通り「回転させてから $y$ 軸に垂直な平面で切る」ことで体積を求めます。

バウムクーヘンの証明

証明

$f(x)$ が単調減少の場合を考える(単調増加の場合も同様)。
$f(\alpha)=A,\:f(\beta)=B$,$f$ の逆関数を $f^{-1}$ とおくと,
$V=\pi\beta^2B+\int_{B}^A\pi (f^{-1}(y))^2dy-\pi\alpha^2A$
(斜線部分=下+上ー左)
次に,第二項の積分を変形する。 $x=f^{-1}(y)$ と置換すると,$\dfrac{dy}{dx}=f'(x)$ より,
$\displaystyle\int_{B}^A\pi (f^{-1}(y))^2dy=\displaystyle\int_{\beta}^{\alpha}\pi x^2f'(x)dx=-\int_{\alpha}^{\beta}\pi x^2f'(x)dx$

さらに部分積分を用いると,
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\pi x^2f'(x)dx=\left[\pi x^2f(x)\right]_{\alpha}^{\beta}-\int_{\alpha}^{\beta}2\pi xf(x)dx\\
=\pi\beta^2 B-\pi\alpha^2 A-\int_{\alpha}^{\beta}2\pi xf(x)dx$

以上より,$V=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}2\pi xf(x)dx$
となりバウムクーヘン分割が証明された。

バウムクーヘン分割は $f(x)$ が単調でない場合により威力を発揮します。

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