2倍角の公式とその証明

sinの加法定理：

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

において $\alpha=\beta=\theta$ とおくと，

$\sin 2\theta\\=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta\\=2\sin\theta\cos\theta$

つまり，sinの2倍角の公式 $$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$ を得る。

cosの加法定理： $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

において $\alpha=\beta=\theta$ とおくと，

$\cos 2\theta\\ =\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta\\ =\cos^2\theta-\sin^2\theta$

つまり，cosの2倍角の公式 $$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$$ を得る。

さらにこの式において，三角関数の相互関係（詳しくは三角関数の相互関係とその証明をご覧ください）のうち，$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を使って $\sin^2\theta$ を消すと二つ目の式：

$\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$

が得られ，同様に $\cos^2\theta$ を消すと三つ目の式：

$\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta$

を得る。

tanの加法定理： $$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

において $\alpha=\beta=\theta$ とおくと，

$\tan 2\theta=\dfrac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta}=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

つまり，tanの2倍角の公式 $$\tan 2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$$ を得る。

$\sin$ の2倍角公式を使うと，方程式は $$2\sin\theta\cos\theta=\sin\theta$$ となる。よって，$\sin\theta=0$ または $\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ となればよく，$\theta=0,\dfrac{\pi}{3}$ が答え。

cosについての2倍角の公式を用いて，

$\displaystyle\int^{\pi}_{0} \cos^2{\theta}d\theta = \int^{\pi}_{0} \dfrac{1+\cos{2\theta}}{2}d\theta\\ =\left[ \dfrac{1}{2} \theta + \dfrac{1}{4} \sin{2\theta} \right]^{\pi}_{0} =\dfrac{\pi}{2}$

図において $\cos 2\theta=\dfrac{c}{a}$，$\cos \theta=\dfrac{c}{b}$ より証明すべき式は $\dfrac{c}{a}=\dfrac{2c^2}{b^2}-1$

つまり $b^2c=2ac^2-ab^2$

ここで，三角形 $AED$ と $ABD$ は合同なので，$ED=BD=\sqrt{b^2-c^2}$

これと，三角形 $CED$ と $CBA$ は相似なので，$a-c:\sqrt{b^2-c^2}=\sqrt{a^2-c^2}:c$

よって，$(a-c)c=\sqrt{a^2-c^2}\sqrt{b^2-c^2}$

両辺二乗して整理していく：

$(a-c)^2c^2=(a^2-c^2)(b^2-c^2)$

$(a-c)c^2=(a+c)(b^2-c^2)$

$ac^2=ab^2-ac^2+b^2c$

$b^2c=2ac^2-ab^2$

となり目標の式を得る。