原始関数の定義といろいろな例

$x^3$ を微分すると $3x^2$ なので $F(x)=x^3$ は $f(x)=3x^2$ の原始関数（の1つ）。

$x^3+100$ を微分すると $3x^2$ なので $F(x)=x^3+100$ は $f(x)=3x^2$ の原始関数（の1つ）。

$e^x$ を微分すると $e^x$ なので $F(x)=e^x$ は $f(x)=e^x$ の原始関数（の1つ）。

他にもいろいろな関数の原始関数を積分公式一覧で紹介しています。

原始関数には定数差の自由度があります。つまり，$F(x)$ が $f(x)$ の原始関数なら，任意の定数 $C$ に対して $F(x)+C$ も $f(x)$ の原始関数です。

逆に，それ以外の自由度はありません。

（$F_1(x)$，$F_2(x)$ がともに $f(x)$ の原始関数ならば，$(F_1(x)-F_2(x))'=f(x)-f(x)=0$ より $F_1(x)$ と $F_2(x)$ は定数の差しかない）

連続関数には原始関数が必ず存在することが知られています。

ですが，不連続関数の場合，原始関数が存在するとは限りません。

また，原始関数が存在しても，それが初等関数で表せるとは限りません。そのような例を以下に示します。

$\displaystyle\int e^{-x^2}dx$ （$-\infty$ から $\infty$ での定積分はガウス積分）

$\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{x}dx$ （$0$ から $\infty$ での定積分はディリクレ積分）

$\displaystyle\int \sin x^2dx$ （$-\infty$ から $\infty$ での定積分はフレネル積分）

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\log t}dt$ （$0$ から $x$ までの定積分は対数積分と呼ばれる $x$ の関数）

$\displaystyle\int\dfrac{e^t}{t}dt$ （$-\infty$ から $x$ までの定積分は指数積分と呼ばれる $x$ の関数）

$\displaystyle\int\sqrt{1-k^2\sin^2x}dx$ （$0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ までの定積分は第二種完全楕円積分と呼ばれる $k$ の関数）→楕円積分の意味と身近な4つの例

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{4t^3-at-b}}dt$ （$x$ から $\infty$ までの定積分は $x$ の関数で，ワイエルシュトラスのペー関数の逆関数）

補足

原始関数の厳密な定義は下記です：

例えば，$y=-\dfrac{1}{x^2}$ という関数は $x=0$ で定義されていないので，

• 区間 $(2,3)$ や $(-3,-2)$ で考えれば原始関数 $y=\dfrac{1}{x}+C$ を持ちますが，
• 区間 $(-1,1)$ では原始関数を考えません。

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