2016/02/04

原始関数の定義といろいろな例

分野: 積分  レベル: 基本公式

微分すると $f(x)$ になるような関数 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数と言う。

前半は簡単な具体例です。後半は原始関数が初等関数で表せない具体例を紹介します。

簡単な具体例

$x^3$ を微分すると $3x^2$ なので $F(x)=x^3$ は $f(x)=3x^2$ の原始関数(の一つ)。

$x^3+100$ を微分すると $3x^2$ なので $F(x)=x^3+100$ は $f(x)=3x^2$ の原始関数(の一つ)。

$e^x$ を微分すると $e^x$ なので $F(x)=e^x$ は $f(x)=e^x$ の原始関数(の一つ)。

他にもいろいろな関数の原始関数を積分公式一覧で紹介しています。

原始関数の自由度

原始関数には定数差の自由度があります。つまり,$F(x)$ が $f(x)$ の原始関数なら,任意の定数 $C$ に対して $F(x)+C$ も $f(x)$ の原始関数です。

逆に,それ以外の自由度はありません。
($F_1(x)$,$F_2(x)$ がともに $f(x)$ の原始関数ならば,$(F_1(x)-F_2(x))’=f(x)-f(x)=0$ より $F_1(x)$ と $F_2(x)$ は定数の差しかない)

原始関数の存在

連続関数には原始関数が必ず存在するということが知られています。

ですが,不連続関数の場合,原始関数が存在するとは限りません。

また,原始関数が存在しても,それが初等関数で表せるとは限りません。そのような例を以下に示します。

$\displaystyle\int e^{-x^2}dx$($-\infty$ から $\infty$ での定積分はガウス積分
$\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{x}dx$($0$ から $\infty$ での定積分はディリクレ積分)
$\displaystyle\int \sin x^2dx$($-\infty$ から $\infty$ での定積分はフレネル積分
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\log t}dt$($0$ から $x$ までの定積分は対数積分と呼ばれる $x$ の関数)
$\displaystyle\int\dfrac{e^t}{t}dt$($-\infty$ から $x$ までの定積分は指数積分と呼ばれる $x$ の関数)
$\displaystyle\int\sqrt{1-k^2\sin^2x}dx$($0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ までの定積分は第二種完全楕円積分と呼ばれる $k$ の関数)
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{4t^3-at-b}}dt$($x$ から $\infty$ までの定積分は $x$ の関数で,ワイエルシュトラスのペー関数の逆関数)

原始関数は英語で antiderivative, primitive function などと言います。antiderivative の方がメジャーっぽいです。

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