指数関数y=a^xの微分公式の４通りの証明

$a^x$ の導関数は，

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{a^{x+h}-a^x}{h}\\ =a^x\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{a^h-1}{h}$

ここで，$a^h=e^{\log a^h}$ に注意（両辺の対数を取ると確認できる）すると，上式は

$a^x\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}\cdot\dfrac{\log a^h}{h}\\ =a^x\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}\cdot\dfrac{h\log a}{h}\\ =a^x\log a\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}$

となる。ただし，1つめの等号では対数(log)の公式の1つである $\log a^h=h\log a$ を用いた。

さらに，$h\to 0$ のとき $\log a^h\to 0$ であることと，$\displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{e^t-1}{t}=1$ （→指数関数と対数関数の極限の公式）を使うと，上式の極限部分は $1$ となる。つまり，上式は $a^x\log a$ となる。

$y=a^x$ の対数を取る： $\log y=x\log a$

両辺微分： $\dfrac{y'}{y}=\log a$

よって，$y'=y\log a=a^x\log a$

$y=a^x$ の逆関数は，$x=\log_a y=\dfrac{\log y}{\log a}$ である。

これを $y$ で微分すると，$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{y\log a}$

よって，逆関数の微分公式より，

$\dfrac{dy}{dx}=y\log a=a^x\log a$

$a^x=e^{\log a^x}=e^{x\log a}$

であるので，合成関数の微分公式より $(a^x)'=\log a(e^{x\log a})=a^x\log a$