アーベルの総和公式とその意味

$a_k=A_{k}-A_{k-1}$ に注意すると，アーベルの総和公式の左辺は，

$\displaystyle\sum_{k=1}^na_kb_k\\ =A_1b_1+(A_2-A_1)b_2+\dots +(A_n-A_{n-1})b_n\\ =A_1(b_1-b_2)+A_2(b_2-b_3)+\dots +A_{n-1}(b_{n-1}-b_{n})+A_nb_n\\ =A_nb_n-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_{k+1}-b_k)$

※この方法は数列 $a_k,b_k$ の各項が正の場合にのみ通用します。

簡単のため $n=4$ の場合について説明します。一般の場合も同様です。

図において，$a_i$ は小さい長方形の横幅を，$b_i$ は下から $i$ 個分の長方形の縦幅の和を表しています。

アーベルの総和公式
$\displaystyle\sum_{k=1}^na_kb_k=A_nb_n-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_{k+1}-b_k)$

において，

• 左辺は水色の部分の面積
• 右辺第一項は大きい長方形全体の面積
• 右辺第二項は黄色の面積

を表すので確かに成立しています。

部分積分の公式： $\displaystyle\int_0^n fgdx=[Fg]_0^n-\int_0^nFg'dx$

（ただし，$f$ は $F$ の微分）

に対して「離散化」する。すなわち，積分はシグマに，微分は差分にする：

$\displaystyle\sum_{k=1}^nf(k)g(k)\\ =\displaystyle F(n)g(n)-\sum_{k=1}^{n-1}F(k)(g(k+1)-g(k))$

（離散化するときの積分区間が少し不自然だが）これはアーベルの総和公式になっている：

$\displaystyle\sum_{k=1}^na_kb_k=A_nb_n-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_{k+1}-b_k)$

アーベルの総和公式

$\displaystyle\sum_{k=1}^na_kb_k=A_nb_n+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1})$

において，$A_k$ を $m,M$ に置き換えたものがアーベルの不等式の最左辺，最右辺になっている。