図形の美しい３つの定理〜逆数の和〜

$h_A=c\sin B$

であり，正弦定理より $\dfrac{b}{\sin B}=2R$

よって $h_A=\dfrac{bc}{2R}$

よって $h_B,h_C$ も同様に求まるので，右辺は

$\dfrac{2R}{bc}+\dfrac{2R}{ca}+\dfrac{2R}{ab}\\ =\dfrac{2R}{abc}(a+b+c)$

ここで，外接円の半径と三角形の面積の関係： $S=\dfrac{abc}{4R}$ より

上式 $=\dfrac{1}{2S}(a+b+c)$

これと $S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$ より定理は示された。

$S=\dfrac{1}{2}ah_A=\dfrac{1}{2}bh_B=\dfrac{1}{2}ch_C$

より，

$\dfrac{1}{r}\\ =\dfrac{a+b+c}{2S}\\ =\dfrac{2S}{2S}\left(\dfrac{1}{h_A}+\dfrac{1}{h_B}+\dfrac{1}{h_C}\right)$

三角形 $ABD$ に正弦定理を用いると，

$\dfrac{AD}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin \angle ADB}$

ここで $O$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $H$ とおくと $\angle AOH=\angle B$ より $\angle DAC=90^{\circ}-B$ である。

よって，$\angle ADB=\angle DAC+C=(90^{\circ}-B)+C$

であるので $AD=\dfrac{c\sin B}{\cos(B-C)}$

さらに正弦定理と加法定理を用いて角度のみの情報にする：

$\dfrac{1}{AD}\\ =\dfrac{\cos B\cos C+\sin B\sin C}{2R\sin B\sin C}\\ =\dfrac{1}{2R}\left(1+\dfrac{1}{\tan B\tan C}\right)$

$\dfrac{1}{BE},\dfrac{1}{CF}$ も求まるので

右辺は，

$\dfrac{1}{2R}\left(3+\dfrac{1}{\tan A\tan B}+\dfrac{1}{\tan B\tan C}+\dfrac{1}{\tan C\tan A}\right)\\ =\dfrac{2}{R}$

ただし，最後の等号はタンジェントの美しい関係式を用いた。

三角形 $AOB,BOC,COA$ の面積をそれぞれ $S_C,S_A,S_B$ とおく。

$S:S-S_A=AD:AO=AD:R$

より $AD=\dfrac{SR}{S-S_A}$

同様に $BE=\dfrac{SR}{S-S_B},CF=\dfrac{SR}{S-S_C}$

よって

$\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{BE}+\dfrac{1}{CF}\\ =\dfrac{(S-S_A)+(S-S_B)+(S-S_C)}{SR}\\ =\dfrac{2S}{SR}\\ =\dfrac{2}{R}$

内接円の半径の公式より，

$\dfrac{1}{r}=\dfrac{a+b+c}{2S}$

一方，傍接円の半径の公式より，

$\dfrac{1}{r_A}=\dfrac{-a+b+c}{2S}$

$\dfrac{1}{r_B}=\dfrac{a-b+c}{2S}$

$\dfrac{1}{r_C}=\dfrac{a+b-c}{2S}$

以上の4つの式よりルーリエの定理が成立する。