2014/08/10

図形の美しい3つの定理〜逆数の和〜

分野: 平面図形  レベル: マニアック

逆数の和に関する平面図形の美しい定理を3つ紹介します。実用的な定理ではありませんが,証明はよい練習問題になるのでトライしてみてください!

定理1:垂線の長さの定理

theorem1

三角形 $ABC$ の内接円の半径を $r$,各頂点から対辺に下ろした垂線の長さを $h_A,h_B,h_C$ とおくと,$\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{h_A}+\dfrac{1}{h_B}+\dfrac{1}{h_C}$

非常に美しい定理です。逆数の和が登場してくると図形的な考察で証明するのは厳しいです。

証明するためには三角形 $ABC$ の情報(できれば各辺の長さ $a,b,c$ のみ)で全てを表す方針が有効です。

証明

$h_A=c\sin B$
であり,正弦定理より $\dfrac{b}{\sin B}=2R$
よって $h_A=\dfrac{bc}{2R}$
よって $h_B,h_C$ も同様に求まるので,右辺は
$\dfrac{2R}{bc}+\dfrac{2R}{ca}+\dfrac{2R}{ab}\\
=\dfrac{2R}{abc}(a+b+c)$
ここで,外接円の半径と三角形の面積の関係:$S=\dfrac{abc}{4R}$ より
上式$=\dfrac{1}{2S}(a+b+c)$
これと $S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$ より題意は示された。

定理2:定理1と似たような定理

theorem2

三角形 $ABC$ の外心を $O$ として,$AO$ と $BC$ の交点を $D$ とおく($E,F$ も同様)
すると,$\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{BE}+\dfrac{1}{CF}=\dfrac{2}{R}$

同様に計算で証明します。三角形 $ABC$ の情報で $AD$ を求めに行きます。

証明

三角形 $ABD$ に正弦定理を用いると,
$\dfrac{AD}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin \angle ADB}$
ここで $O$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $H$ とおくと $\angle AOH=\angle B$ より $\angle DAC=90^{\circ}-B$ である。
よって,$\angle ADB=\angle DAC+C=(90^{\circ}-B)+C$
であるので $AD=\dfrac{c\sin B}{\cos(B-C)}$
さらに正弦定理と加法定理を用いて角度のみの情報にする:
$\dfrac{1}{AD}=\dfrac{\cos B\cos C+\sin B\sin C}{2R\sin B\sin C}=\dfrac{1}{2R}(1+\dfrac{1}{\tan B\tan C})$
$\dfrac{1}{BE},\dfrac{1}{CF}$ も求まるので
右辺$=\dfrac{1}{2R}(3+\dfrac{1}{\tan A\tan B}+\dfrac{1}{\tan B\tan C}+\dfrac{1}{\tan C\tan A})\\
=\dfrac{2}{R}$
ただし,最後の等号はタンジェントの美しい関係式を用いた。

定理3:ルーリエの定理

内接円の半径を $r$,傍接円の半径をそれぞれ $r_A, r_B, r_C$ とすると,
$\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{r_A}+\dfrac{1}{r_B}+\dfrac{1}{r_C}$

ルーリエの定理も非常に美しい定理です。
内心と傍心の性質の比較にあるように内接円の半径も傍接円の半径も簡単に求まるので証明は比較的簡単です。

証明

内接円の半径の公式より,
$\dfrac{1}{r}=\dfrac{a+b+c}{2S}$
一方傍接円の半径の公式より,
$\dfrac{1}{r_A}=\dfrac{-a+b+c}{2S}$
$\dfrac{1}{r_B}=\dfrac{a-b+c}{2S}$
$\dfrac{1}{r_C}=\dfrac{a+b-c}{2S}$
以上の4つの式よりルーリエの定理が成立する。

僕は計算で証明する図形問題が大好きです。
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